Διαφορά ολοφάνερη !

KARKAR · #1

Δείξτε - με πειστικό τρόπο - ότι : $\sin 2\phi>\tan \pi$

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Δεκ 20, 2018 9:17 am Δείξτε - με πειστικό τρόπο - ότι : $\sin 2\phi>\tan \pi$

(Η ανισότητα είναι ανάποδα, από τυπογραφική αβλεψία. Το σωστό είναι $\sin 2\phi< \tan \pi=0$

Σίγουρα δεν είναι $\sin 2\phi= \tan \pi=0$ , ισοδύναμα $2\phi \ne k\pi$ .

Πειστικό επιχείρημα για τον φάκελο: Αν ήταν $2\phi = \pi$ θα είχε γίνει ντόρος ήδη από τους Πυθαγορείους και τον Kepler. Άρα δεν είναι ίσα. Οπότε ισχύει μία από τις ανισότητες

ή

.

Ακριβέστερα, για εμάς τους λιγότερο ρομαντικούς είναι $2\phi \approx 3,23 > \pi$ , οπότε το $2\phi$ είναι στο τρίτο τεταρτημόριο, και λοιπά.

KARKAR · #3

Χορταστική απάντηση

. Θα επιμείνω όμως στην ορθότητα της φοράς της ανισότητας ...

#4

Ο KARKAR (πονηρός ων) δεν ξεκαθαρίζει αν μιλάμε για ακτίνια ή μοίρες.

Στα ακτίνια, είναι σαφέστατα: $\displaystyle \pi < 2\phi < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin 2\phi < 0 = \tan \pi$

Στις μοίρες, $\displaystyle \sin 2\phi \simeq 0.05645 > 0.054886 \simeq \tan \pi$

Όσο για πειστικό τρόπο, επικαλούμαι το Web 2.0 scientific calculator.

Μάλλον πληκρολογούσαμε μαζί με τον KARKAR.

#5

Ως γνωστό $\boxed{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x}}{x} = 1}$

Αυτό ισχύει αν και μόνο αν η μεταβλητή

εκφράζεται σε ακτίνια.. .

Σε αντίθετη περίπτωση πρέπει να δηλωθεί ρητά και κατηγορηματικά και το αποτέλεσμα του πιο πάνω ορίου είναι διαφορετικό.

#6

KARKAR έγραψε: Πέμ Δεκ 20, 2018 9:17 am Δείξτε - με πειστικό τρόπο - ότι : $\sin 2\phi>\tan \pi$

Ας το δούμε λοιπόν και σε μοίρες, χωρίς κομπουτεράκι. Θα χρησιμοποιήσω τις ανισότητες (σε ακτίνια) $\sin x \ge x - \dfrac {x^3}{6}, \, \tan y = \dfrac {\sin y} {\cos y} < \dfrac {y} {1-y^2/2}$ στο πρώτο τεταρτημόριο. Εδώ $x=2\phi$ μοίρες, δηλαδή $\frac {\phi \pi}{90}$ ακτίνια και $y= \pi$ μοίρες, δηλαδή $\frac {\pi ^2}{180}$ ακτίνια. Επειδή για αυτό το

είναι (με ή χωρίς κομπιουτεράκι) 1-y^2/2>0,99

αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{\, \frac {\phi \pi}{90}- \frac {1}{6} \left (\frac {\phi \pi}{90} \right )^3> \frac {1}{0,99}\frac {\pi ^2}{180} }$

Ισοδύναμα $\displaystyle{3\cdot 90^2(2\phi -\pi/0,99) > \phi ^3\pi ^2}$ .

Με ή χωρίς κομπιουτεράκι εύκολα βλέπουμε ότι ισχύει και με περίσσευμα αφού το αριστερό μέλος είναι $\approx 1524$ και το δεξί $\approx 42$ .

Edit. Είχα την ανισότητα του $\tan y$ ανάποδα. Το διόρθωσα αλλά χρειάστηκαν λίγες παραπάνω πράξεις.

#7

george visvikis έγραψε: Πέμ Δεκ 20, 2018 10:44 am Ο KARKAR (πονηρός ων)..

...πονηρό ον!!

Θα μας πει ότι το ένα είναι σε ακτίνα και το άλλο σε μοίρες!!

Ίσως και σε βαθμούς!

KARKAR · #8

Δείξτε ότι : $\sin (2\phi)^0>\tan( \pi)^0$ . Αν το έγραφα έτσι θα μιλούσατε για σαχλό ανέκδοτο

Η αλήθεια είναι ότι έψαχνα ( σοβαρά ! ) για μια γωνιούλα $\phi$ , λίγο μεγαλύτερη από την $\theta$ , έτσι

ώστε : $\sin\phi=tan\theta$ . Αλλά που να πετύχεις ισότητα ( που νάχει και πλάκα ) . Ε , την έκανα

- σχετικά σφιχτή - ανισότητα . Όσο για το με "πειστικό τρόπο" , εννοούσα το κομπιουτεράκι !

Αν βέβαια κάτσει κάτι καλύτερο θα το χαρώ διπλά

#9

Έκανα διόρθωση στην παραπάνω απάντησή μου καθώς είχα μία ανισότητα του $\tan y$ ανάποδα. Το διευθέτησα αλλά χρειάστηκε μία ακόμη αριθμητική πράξη.

Ευχαριστώ τον θεματοθέτη Θανάση για την επισήμανση.

Διαφορά ολοφάνερη !

Διαφορά ολοφάνερη !

Re: Διαφορά ολοφάνερη !

Re: Διαφορά ολοφάνερη !

Re: Διαφορά ολοφάνερη !

Re: Διαφορά ολοφάνερη !

Re: Διαφορά ολοφάνερη !

Re: Διαφορά ολοφάνερη !

Re: Διαφορά ολοφάνερη !

Re: Διαφορά ολοφάνερη !

Μέλη σε σύνδεση