Παραλληλία χορδής κι εφαπτομένης

#1

: Παραλληλία χορδής κι εφαπτομένης.png (12.55 KiB) Προβλήθηκε 995 φορές

Σε ευθεία δίδονται κατά σειρά τα σημεία $A\,,\,B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ . Προς το ίδιο μέρος γράφουμε τα ημικύκλια διαμέτρων $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ .

Η κάθετος στο μέσο

του

τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο

. Φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα

στο μικρό ημικύκλιο .

Έστω

το συμμετρικό του

ως προς το

. Η

τέμνει ακόμα το μεγάλο ημικύκλιο στο

.

Δείξετε ότι: AG//ME

Προφανώς δεκτή κάθε λύση ( χαμηλής ή υψηλής " πτήσης")

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Doloros έγραψε: Κυρ Σεπ 15, 2019 10:59 am Παραλληλία χορδής κι εφαπτομένης.png

Σε ευθεία δίδονται κατά σειρά τα σημεία $A\,,\,B\,\,\kappa \alpha \iota \,\,C$ . Προς το ίδιο μέρος γράφουμε τα ημικύκλια διαμέτρων $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ .

Η κάθετος στο μέσο του τέμνει το μεγάλο ημικύκλιο στο . Φέρνουμε το εφαπτόμενο τμήμα στο μικρό ημικύκλιο .

Έστω το συμμετρικό του ως προς το . Η τέμνει ακόμα το μεγάλο ημικύκλιο στο .

Δείξετε ότι:

Προφανώς δεκτή κάθε λύση ( χαμηλής ή υψηλής " πτήσης")

Καλημέρα!
Έστω

το μέσον του BC.

Είναι $CD\perp AF,AG\perp FC,FB\perp AC,AD=DF$ και έτσι AFC

ισοσκελές, FG=AB

.
Έχουμε

και $AG^2=AC^2-GC^2=4MB^2+4BO^2+8MB\cdot BO-4BO^2=4(MB^2+2MB\cdot BO)=4ME^2\Leftrightarrow \,\,\,\,=AG=2ME$

Από τα παραπάνω έχουμε ότι $\overset{\Delta }{AGC}\sim \overset{\Delta }{MEO}$ που δίνει το ζητούμενο.

ΘΕΟΔΟΣΙΟΣ ΦΩΤΙΑΔΗΣ · #3

Γειά σας κ.Νίκο!
Φέρω το τμήμα

. Επειδή $\widehat{ADC}=90^{\circ}$ και AD=DF

, το τρίγωνο AFC

είναι ισοσκελές. Είναι $BD=AD=\dfrac{AF}{2}\Rightarrow FB\perp AC$ . Έστω $H\equiv CD\cap FB$ . Επειδή

μεσοκέθετος του

και διχοτόμος της $\widehat{C}$ , θα είναι $HF=HA,HG=HB\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\widehat{FHG}=\widehat{AHB}$ , οπότε και FG=AB,CG=CB

.
Τώρα, επειδή $BG\parallel AF$ , είναι $CD\perp GB$ .Έστω $E\,'\equiv CD\cap BG$ .
Επειδή $\widehat{OEC}=\widehat{ECO}=\widehat{MDB}\overset{MDEB\,\kappa\upsilon \kappa \lambda \iota \kappa o }{=}\widehat{MEB}$ , είναι $\widehat{MEO}=90^{\circ}$ και άρα $E\equiv E\,'$ . Απο τις εγγεγραμμένες γωνίες τώρα προκύπτει $\widehat{DHA}=90^{\circ}-\widehat{DAH}=90^{\circ}-\widehat{DCA}=90^{\circ}-\widehat{MEB}=\widehat{HEM}\Leftrightarrow AH\parallel ME$

: Capture.PNG (57.02 KiB) Προβλήθηκε 841 φορές

Παραλληλία χορδής κι εφαπτομένης

Παραλληλία χορδής κι εφαπτομένης

Re: Παραλληλία χορδής κι εφαπτομένης

Re: Παραλληλία χορδής κι εφαπτομένης

Μέλη σε σύνδεση