Τελευταίο Θεώρημα του Fermat - Αντιπαράδειγμα

Γρίφοι, Σπαζοκεφαλιές, προβλήματα λογικής, μαθηματικά παιχνίδια, αινίγματα

Συντονιστής: Γιώργος Ρίζος

Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Τελευταίο Θεώρημα του Fermat - Αντιπαράδειγμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Οκτ 05, 2019 11:49 am

Πως το εξηγείτε αυτό;
Συνημμένα
Screenshot 2019-10-05 at 11.45.06.png
Screenshot 2019-10-05 at 11.45.06.png (31.8 KiB) Προβλήθηκε 515 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12415
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Τελευταίο Θεώρημα του Fermat - Αντιπαράδειγμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Σάβ Οκτ 05, 2019 12:33 pm

Μία εξήγηση:

Φταίει η προσέγγιση. Με το λογισμικό μου οι σωστές τιμές των x^5,y^5,z^5 είναι

429501655585462177439255951207

3550743579600176835616363546199,

3980245235185639013290924656032

που δεν συγκρούονται με το τελευταίο θεώρημα του Fermat, δεδομένου ότι η ακριβής τιμή είναι -235305158626

Αν όμως στρογγυλεύσουμε τα τελευταία 16 ψηφία σε 0 (μας το προδίδει αυτό η δοθείσα απάντηση που έχει μία σειρά από 16 μηδενικά μετά την υποδιαστολή) λαμβάνουμε

429501655585460000000000000000+ 3550743579600170000000000000000- 3980245235185630000000000000000
=0


Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 265
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Τελευταίο Θεώρημα του Fermat - Αντιπαράδειγμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Σάβ Οκτ 05, 2019 4:09 pm

Επίσης, με το μάτι:

x^5+y^5\equiv7+9\equiv6\mod10,

ενώ:

z^5\equiv2\mod10.

Άλλα γνωστά «αντιπαραδείγματα» του θεωρήματος είναι και τα:

6107^6+8919^6=9066^6

1782^{12}+1841^{12}=1922^{12}

3987^{12}+4365^{12}=4472^{12}


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8484
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Τελευταίο Θεώρημα του Fermat - Αντιπαράδειγμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Σάβ Οκτ 05, 2019 6:42 pm

Όπως είπε και ο Μιχάλης το πρόβλημα είναι η προσέγγιση. Σωστά παρατήρησε ο Βασίλης ότι μόνο και με το μάτι μπορούμε να δούμε ότι δεν είναι σωστό. Ο σύνδεσμος του mick7 είναι από εκεί που πήρα το παράδειγμα. (Γνώριζα την ύπαρξη τέτοιων παραδειγμάτων.)

Αυτό δείχνει πως πρέπει να είμαστε προσεκτικοί όταν χρησιμοποιούμε υπολογιστικά προγράμματα. Εγώ εδω χρησιμοποίησα το sage. Γράφοντας x = 844487.000 δήλωσα στο πρόγραμμα ότι ο x δεν είναι ακέραιος αλλά «πραγματικός». Αντί λοιπόν να κάνει πλήρως τις πράξεις τις έκανε με προσέγγιση. Η προσέγγιση που χρησιμοποιεί είναι 53 bits. Δηλαδή όποτε κάνει πράξεις γράφει τους αριθμούς στο δυαδικό σύστημα χρησιμοποιώντας μόνο 53 ψηφία.

Όμως για τον z^5 > 10^{30} > 2^{3 \cdot 30} θέλουμε τουλάχιστον 90 δυαδικά ψηφία για να τον προσεγγίσουμε. Στην πραγματικότητα για τον z^5 θέλουμε τουλάχιστον 5\log(1318202)/\log(2) \approx 101.65 δυαδικά ψηφία. Στην επόμενη εικόνα κάνω τις πράξεις με προσέγγιση 100 δυαδικών ψηφίων που πάλι δεν δίνει τη σωστή διαφορά (χάνει στο τελευταίο ψηφίο) ενώ μετά με προσέγγιση 102 δυαδικών ψηφίων δίνει τη σωστή απάντηση.

Screenshot 2019-10-05 at 18.38.39.jpg
Screenshot 2019-10-05 at 18.38.39.jpg (39.65 KiB) Προβλήθηκε 376 φορές


Άβαταρ μέλους
mick7
Δημοσιεύσεις: 396
Εγγραφή: Παρ Δεκ 25, 2015 4:49 am

Re: Τελευταίο Θεώρημα του Fermat - Αντιπαράδειγμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mick7 » Σάβ Οκτ 05, 2019 8:11 pm

Μήπως το PARI/GP δίνει καλύτερα αποτελέσματα ? :idea:

https://pari.math.u-bordeaux.fr/


Απάντηση

Επιστροφή σε “Διασκεδαστικά Μαθηματικά”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης