Έμπειρος ταξιτζής

[Γιώργος Ρίζος]

Καλησπέρα σε όλους. Ως συνέχεια του προβλήματος από ΕΔΩ, ένα ακόμα πρόβλημα κίνησης. Θα χαρώ να δω και "πρακτικές λύσεις". Αν κάποιος γνωρίζει την πηγή ας την αναφέρει εν ευθέτω χρόνω.

Είμαστε στην πόλη Α. Παίρνουμε ταξί για την πόλη Β. Μόλις ξεκινάμε, ρωτάμε τον ταξιτζή: «Σε πόση ώρα θα φτάσουμε στην πόλη Β;». Μάς λέει: «Αν έχει κίνηση στο δρόμο και πάμε με , θα φτάσουμε στις το μεσημέρι. Αν όχι και πάμε με θα φτάσουμε στις π.μ. Αν η κίνηση είναι μέτρια και πάμε με θα φτάσουμε στις π.μ.». «Συγνώμη, εννοείτε με , που είναι ο μέσος όρος των και των ». «Όχι, όχι», μάς απαντά. «Την έχω κάνει πολλές φορές τη διαδρομή. Με θα φτάσουμε στις π.μ., όπως σας είπα». Τι να του πούμε τώρα. Για να επιμένει, κάτι θα ξέρει παραπάνω… Έχει δίκιο ο ταξιτζής; Τι ώρα γίνεται ο διάλογος αυτός;

[exdx]

Καλησπέρα Γιώργο .

Με ύλη Φυσικής Β΄Γυμνασίου
Είναι , οπότε
Άρα . Οπότε ο διάλογος έγινε στις
Έχει δίκιο αφού και
Πρακτικά
Αν η ταχύτητα είναι , δηλαδή αυξημένη κατά τα των ,
κερδίζουμε τα του χρόνου που είναι . Άρα τα είναι .
Οπότε η απόσταση είναι κλπ

Ωραιότατο πρόβλημα για τις εξισώσεις της Β΄ και τη Φυσική

[fmak65]

Αν τρέχει το αυτοκίνητο με τότε στις 10 η ώρα θα θέλει για να φτάσει μετά από 2 ώρες στο προορισμό του.
Ενώ αν έτρεχε με τότε θα είχε ήδη φτάσει. Δηλαδή θα είχε κάνει περισσότερα από την πρώτη φορά.
Όμως τρέχει περισσότερα από την πρώτη φορά και αν τα διαιρέσουμε , θα δούμε ότι αυτά τα τα κέρδισε σε 3 ώρες ταξίδι.
().
Οπότε ξεκίνησε 3 ώρες νωρίτερα, δηλαδή στις 7 η ώρα και έκανε την διαδρομή σε 3 ώρες, άρα η απόσταση είναι .
Αν τρέχει με , θα κάνει την διαδρομή σε 4 ώρες, άρα θα φτάσει στις 11 η ώρα. (κάτι ξέρει ο ειδικός (ταξιτζής)).

[kkala]

Από τα παραπάνω φαίνεται ότι οι λύσεις με χρήση (πρακτικής) αριθμητικής είναι έξυπνες. Εν τούτοις η αλγεβρική λύση είναι πολλές φορές απλούστερη (τουλάχιστον για τον μαθητή). Π.χ. αν η συζήτηση γίνεται την ώρα χ (δεκαδικός που δείχνει την ώρα), οι εξισώσεις είναι , οπότε χ=7 (ώρα 7:00 π.μ.). Ο Ν. Δ. Νικολάου (Μεγάλη Στοιχειώδης Άλγεβρα, Εισαγωγή) αναφέρει ότι "η Άλγεβρα είναι γενική Αριθμητική με ευρύτερο έργο, διότι και νέους αριθμούς εισάγει και προβλήματα δυσκολότερα λύνει" (προσφέροντας βέβαια πιό μηχανοποιημένες / τυφλοσούρτικες λύσεις, αλλά ορθές).
Όσον αφορά τα 80 ή 75 km/h ο ταξιτζής είχε δίκιο, όπως δείχνουν τα αποτελέσματα και όχι μόνο. Οι χρόνος (διαδρομής) είναι αντιστρόφως ανάλογος της ταχύτητας, όχι ανάλογος. Για να φθάσουμε ακριβώς στην "μέση" ώρα (11 π.μ.), δηλαδή να έχουμε διαδρομή 4 ωρών (μέσο όρο των 5 και 3 ωρών), η ταχύτητα πρέπει να είναι ο αρμονικός μέσος των 60 και 100 km/h, δηλαδή 75 km/h (βλ. και παραπομπή της #1).

[Demetres]

Αν η απόσταση ήταν χιλιόμετρα, θα θέλαμε ώρες να πάμε χωρίς κίνηση και ώρες με κίνηση. Διαφορά ώρες. Αφού η διαφορά είναι ώρες, τότε η απόσταση είναι χιλιόμετρα και θέλουμε ώρες να την κάνουμε χωρίς κίνηση. Δηλαδή ξεκινάμε η ώρα . Για να φτάσουμε η ώρα θέλουμε να καλύψουμε χιλιόμετρα σε ώρες που δίνει .

Θα μπορούσα να ξεκινήσω με το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των και που είναι το . Πήρα το για να φανεί ότι οποιοδήποτε κοινό πολλαπλάσιο δουλεύει αλλά κυρίως και ότι δουλεύει ακόμη και αν ο αριθμός που θα πάρω διαφέρει από την τελική απόσταση.

Αξίζει να αναφέρουμε ότι αν οι αρχικές ταχύτητες ήταν και τότε η τελική απάντηση είναι ο αρμονικός μέσος των και , δηλαδή το (Όπως βλέπω το ανάφερε και ο Κώστας. Μάλιστα μας εξήγησε και γιατί συμβαίνει αυτό. Δεν είχα διαβάσει πλήρως όλη την απάντησή του.)

[Γιώργος Ρίζος]

Σάς ευχαριστώ όλους για τις παρεμβάσεις σας.

Το πρόβλημα υπάρχει σε μια σχετική συλλογή 17 προβλημάτων στην "Οδό Μαθηματικής Σκέψης", στο 1ο κεφάλαιο, που αναφέρεται στο ρόλο του Αρμονικού Μέσου σε πλήθος προβλημάτων (όχι μόνο κίνησης) από την αρχαιότητα ως τα πρόσφατα σχολικά εγχειρίδια.

Περισσότερα για τα προβλήματα κίνησης στη σχετική συζήτηση, ΕΔΩ.

Αναρτώ μια ακόμα πρακτική λύση, παρόμοια με τις δικές σας.

Ξεκινούν μαζί από την πόλη Α δύο αυτοκίνητα με ταχύτητες και αντίστοιχα. Το πρώτο φτάνει στην πόλη Β δύο ώρες πριν το δεύτερο. Ας πούμε ότι το πρώτο συνεχίζει την πορεία του και διανύει ακόμα. Αυτή η διαφορά των προέκυψε λόγω της διαφοράς των ταχυτήτων τους, που είναι , οπότε τα αυτοκίνητα κινήθηκαν για κ.ο.κ.