Ακρότητες με ακρότατα

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{ax^2+bx-1}{x^2+1}$ , με : a>0 , b >0

α) Πόσα ακρότατα παρουσιάζει η συνάρτηση ;

β) Υπάρχει περίπτωση το μέγιστο να είναι το αντίθετο του ελαχίστου ;

γ) Υπάρχει περίπτωση τα δυο ακρότατα να είναι ακέραιοι ;

#2

Καλημέρα σε όλους. Επιχειρώ μια αλγεβρική προσέγγιση στο πρόβλημα του Θανάση.

α) Η συνάρτηση ορίζεται για κάθε $\displaystyle x \in R$

Έστω $y \in R$ για το οποίο είναι $y = \frac{{a{x^2} + bx - 1}}{{{x^2} + 1}}$ . Οπότε η εξίσωση $\left( {y - a} \right){x^2} - bx + y + 1 = 0$ έχει πραγματικές ρίζες.

Αν είναι y = a

, τότε, $x = \frac{{a + 1}}{b}$ , δεκτή τιμή.

Αν είναι $y \ne a$ , τότε πρέπει και αρκεί $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 4{y^2} - 4\left( {a - 1} \right)y - \left( {{b^2} + 4a} \right) \le 0$

Το τριώνυμο ως προς

έχει $\Delta ' = 16{\left( {\alpha - 1} \right)^2} + 16\left( {{b^2} + 4a} \right) = 16\left[ {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}} \right] > 0$

οπότε η ανισότητα ισχύει για $y \in \left[ {\frac{{\left( {a - 1} \right) - \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}} }}{2},\frac{{\left( {a - 1} \right) + \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}} }}{2}} \right]$

Εύκολα βρίσκουμε ότι το

ανήκει στο σύνολο τιμών της

, οπότε τα παραπάνω είναι τα ακρότατά της.

β) Η 2η συνθήκη γράφεται $\frac{{\left( {a - 1} \right) - \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}} }}{2} + \frac{{\left( {a - 1} \right) + \sqrt {{{\left( {a + 1} \right)}^2} + {b^2}} }}{2} = 0$ , που ισχύει όταν a = 1

.

γ) Για την 3η συνθήκη, παρατηρώ ότι αν π.χ. πάρω a=2, b=4

τότε, με την ευχή του Πυθαγόρα, τα ακρότατα είναι ακέραιοι.

Σχόλιο: Ο Θεματοδότης δεν ζήτησε διερεύνηση στο 3ο ερώτημα, γι' αυτό και απέδειξα απλώς την ύπαρξη, δίχως να επεκταθώ.

Στο 2ο, αν και δεν το ζητά, ας συμπληρώσω ότι μόνον για a=1

ισχύει η συνθήκη.

KARKAR · #3

Έξοχη αντιμετώπιση Γιώργο

Ο λόγος που έβαλα το θέμα σ'αυτόν τον φάκελο , ήταν ακριβώς η αποφυγή της διερεύνησης .

Πάντως με το σκεπτικό σου μπορούμε να βρούμε κι άλλες , π.χ : a=4 , b=12

.

#4

Καλημέρα σε όλους!

α) $\displaystyle f'(x) = \frac{{ - b{x^2} + 2(a + 1)b + b}}{{{{({x^2} + 1)}^2}}}.$ Η διακρίνουσα του αριθμητή είναι

$\displaystyle \Delta = 4{(a + 1)^2} + 4{b^2} > 0,$ άρα η παράγωγος μηδενίζεται σε δύο θέσεις εκατέρωθεν των οποίων αλλάζει

πρόσημο, οπότε έχουμε δύο ακρότατα, ένα μέγιστο και ένα ελάχιστο (αποδεικνύεται ότι είναι ολικά).

β) Οι ρίζες έχουν γινόμενο -1,

άρα αν η μία είναι

η άλλη θα είναι $-\dfrac{1}{r}.$ Εξετάζουμε αν μπορεί να είναι

$\displaystyle f(r) = - f\left( { - \frac{1}{r}} \right) \Leftrightarrow \frac{{a{r^2} + br - 1}}{{{r^2} + 1}} = - \dfrac{{\dfrac{a}{{{r^2}}} - \dfrac{b}{r} - 1}}{{\dfrac{1}{{{r^2}}} + 1}} \Leftrightarrow a{r^2} - 1 = {r^2} - a \Leftrightarrow$ $\boxed{a=1}$

γ) Προς το παρόν, όπως και ο Γιώργος.

#5

γ) Για $\displaystyle a = {k^2} - {m^2} - 1,b = 2km,$ όπου k,m

φυσικοί αριθμοί με k>m,

έχουμε μέγιστο k^2-1

και ελάχιστο -m^2-1

(αν δεν έχω κάνει κάπου λάθος).

Ακρότητες με ακρότατα

Ακρότητες με ακρότατα

Re: Ακρότητες με ακρότατα

Re: Ακρότητες με ακρότατα

Re: Ακρότητες με ακρότατα

Re: Ακρότητες με ακρότατα

Μέλη σε σύνδεση