Το μέγιστο του ελαχίστου

KARKAR · #1

Έστω $a \in [1,4]$ . Για τους θετικούς x ,y

, είναι :

. Βρείτε την τιμή του

, για την

οποία το ελάχιστο της παράστασης : $(x+\dfrac{1}{x})^2+(y+\dfrac{1}{y})^2$ , παίρνει την μέγιστη τιμή του .

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Φεβ 19, 2022 7:47 am Έστω $a \in [1,4]$ . Για τους θετικούς , είναι : . Βρείτε την τιμή του , για την

οποία το ελάχιστο της παράστασης : $(x+\dfrac{1}{x})^2+(y+\dfrac{1}{y})^2$ , παίρνει την μέγιστη τιμή του .

Δεν νομίζω ότι είναι για τον φάκελο των Διασκεδαστικών Μαθηματικών, αλλά ας είναι.

Η παράσταση ισούται $\left (x^2+y^2\right )\left (1+ \dfrac {1}{x^2y^2 } \right ) +4\, (*)$

Αλλά $a= x+y \le \sqrt 2\sqrt {x^2+y^2}$ και άρα $x^2+y^2 \ge \dfrac {a^2}{2}$ . Επίσης $2\sqrt {xy} \le x+y=a$ , άρα $\dfrac {1}{x^2y^2} \ge \dfrac {16}{a^4}$ .

Άρα το δεξί μέλος της (*)

είναι $\ge \dfrac {a^2}{2}\left (1+ \dfrac {16}{a^4 } \right ) +4 = \dfrac {a^2}{2}+ \dfrac {8}{a^2 }+ 4$ με ισότητα όταν $x=y = \dfrac {a}{2}$ .

Βρήκαμε λοιπόν το ελάχιστο, συναρτήσει του

. Με παραγώγιση ή αλλιώς βλέπουμε ότι η συνάρτηση είναι φθίνουσα στο [1,2]

και αύξουσα στο [2,4]

. Άρα έχει μέγιστο στα άκρα. Εδώ τυχαίνει η τιμή της στα a=1

και

να είναι η ίδια, $\dfrac {25}{2}$ , που είναι το ζητούμενο.

Το μέγιστο του ελαχίστου

Το μέγιστο του ελαχίστου

Re: Το μέγιστο του ελαχίστου

Μέλη σε σύνδεση