Σύγκριση λογαρίθμων και ριζών

#1

Να συγκριθούν οι αριθμοί

$\displaystyle{\log _{13}37+\log_{13}71\,\,\,\,}$ και $\displaystyle{ \sqrt [7] 7+\sqrt [7]{17}}$ .

Σήμερα τα κομπιουτεράκια είναι χαλασμένα.

Maria-Eleni Nikolaou · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιουν 03, 2022 8:20 am Να συγκριθούν οι αριθμοί

$\displaystyle{\log _{13}37+\log_{13}71\,\,\,\,}$ και $\displaystyle{ \sqrt [7] 7+\sqrt [7]{17}}$ .

Σήμερα τα κομπιουτεράκια είναι χαλασμένα.

Έστω

ο πρώτος αριθμός και

ο δεύτερος.

Είναι: $a=log_{13}(37\cdot 71)\Rightarrow 13^{a}=2627>13^{3}=2197\Rightarrow a>3$

Επίσης, έστω: $b_{1}=\sqrt[7]{7}$ και $b_{2}=\sqrt[7]{17}$

Ισχύει: $\dfrac{3^{7}}{2^{7}}=\dfrac{2187}{128}=\dfrac{17\cdot 128+11}{128}=17+\dfrac{11}{128}$

Οπότε: $b_{1}, b_{2}<\dfrac{3}{2}$ δηλαδή: b<3

Επομένως:

#3

Έδειξες μάλιστα το ισχυρότερο

$\displaystyle{\log _{13}37+\log_{13}71 > 3 > 2\sqrt [7] {17} > \sqrt [7] 7+\sqrt [7]{17}}$ .

Προς επιβεβαίωση (με κομπιουτεράκι) ότι τα δύο μέρη είναι σχεδόν ίσα, έχουμε

$\displaystyle{\log _{13}37+\log_{13}71 \approx 3,0696 > 3 > 2,9978 \approx 2\sqrt [7] {17}$

#4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιουν 03, 2022 8:20 am Να συγκριθούν οι αριθμοί

$\displaystyle{\log _{13}37+\log_{13}71\,\,\,\,}$ και $\displaystyle{ \sqrt [7] 7+\sqrt [7]{17}}$ .

Σήμερα τα κομπιουτεράκια είναι χαλασμένα.

Δυστυχώς είχα κάνει τυπογραφικό σφάλμα, και η άσκηση βγήκε ευκολότερη από ότι την προόριζα

. Ας δούμε τώρα και αυτό που είχα κατά νου: Δείξτε

$\displaystyle{\log _{13}37+\log_{{\color {red} {17}}}71\,> \sqrt [7] 7+\sqrt [7]{17}}$ .

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Ιουν 05, 2022 10:54 am Δείξτε

$\displaystyle{\log _{13}37+\log_{{\color {red} {17}}}71\,> \sqrt [7] 7+\sqrt [7]{17}}$ .

Για να κλείνει. Χωρίς απόδειξη των ισχυρισμών αλλά είναι εύκολο να κάνει κανείς έλεγχο.

Ισχύει

$\displaystyle{\log _{13}37 > \dfrac {7}{5} > \sqrt [7] 7}$ και

$\displaystyle{\log_{17}71\,> \dfrac {3}{2} >\sqrt [7]{17}}}$ .

Προσθέτουμε τώρα κατά μέλη.

#6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τετ Ιουν 08, 2022 10:39 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Ιουν 05, 2022 10:54 am Δείξτε

$\displaystyle{\log _{13}37+\log_{{\color {red} {17}}}71\,> \sqrt [7] 7+\sqrt [7]{17}}$ .
Για να κλείνει. Χωρίς απόδειξη των ισχυρισμών αλλά είναι εύκολο να κάνει κανείς έλεγχο.

Ισχύει

$\displaystyle{\log _{13}37 > \dfrac {7}{5} > \sqrt [7] 7}$ και

$\displaystyle{\log_{17}71\,> \dfrac {3}{2} >\sqrt [7]{17}}}$ .

Προσθέτουμε τώρα κατά μέλη.

Είναι πιο εύκολο στις πράξεις να δείξουμε αυτήν την ανισότητα:

$\displaystyle{\log _{13}37 > \dfrac {4}{3} > \sqrt [7] 7}$ .

Βέβαια για να βρω την κατάλληλη ανισότητα χρησιμοποίησα υπολογιστική.

Σύγκριση λογαρίθμων και ριζών

Σύγκριση λογαρίθμων και ριζών

Re: Σύγκριση λογαρίθμων και ριζών

Re: Σύγκριση λογαρίθμων και ριζών

Re: Σύγκριση λογαρίθμων και ριζών

Re: Σύγκριση λογαρίθμων και ριζών

Re: Σύγκριση λογαρίθμων και ριζών

Μέλη σε σύνδεση