Ίσα αθροίσματα ανά τριάδες

[Mihalis_Lambrou]

.

Ίσα αθροίσματα ανά τριάδες.png (19.16 KiB) Προβλήθηκε 173 φορές

.
Θέλουμε να γράψουμε από έναν αριθμό στους κύκλους της εικόνας. Θέλουμε οι αριθμοί κάθε τριάδα κύκλων που ακουμπάνε ο ένας τον άλλον να έχουν τα ίδια αθροίσματα. Μερικοί αριθμοί είναι ήδη γραμμένοι. Πώς πρέπει να συμπληρώσουμε τους υπόλοιπους;

[Γιώργος Ρίζος]

Καλημέρα σε όλους. Αρχικά παρατηρώ ότι η πάνω και κάτω γραμμή οφείλει να είναι συμμετρική, ώστε οι τριάδες να δίνουν τα ίδια αθροίσματα με τους κύκλους της μεσαίας γραμμής. Κατόπιν ονομάζω το 2ο μεσαίο κυκλάκι και βρήκα εύκολα το 1ο μεσαίο και το 3ο πάνω κυκλάκι:

10-01-2026 Διασκεδαστικά μαθηματικά 1.jpg (35.79 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές

Συνεχίζοντας έτσι, φτάνοντας στο τέλος, βρήκα ότι το τελευταίο πάνω τρίγωνο κάνει .

10-01-2026 Διασκεδαστικά μαθηματικά 2.jpg (39.92 KiB) Προβλήθηκε 148 φορές

Μετά συμπληρώθηκε εύκολα για .

10-01-2026 Διασκεδαστικά μαθηματικά.jpg (38.47 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Θέλουμε να γράψουμε από έναν αριθμό στους κύκλους της εικόνας. Θέλουμε οι αριθμοί κάθε τριάδα κύκλων που ακουμπάνε ο ένας τον άλλον να έχουν τα ίδια αθροίσματα. Μερικοί αριθμοί είναι ήδη γραμμένοι. Πώς πρέπει να συμπληρώσουμε τους υπόλοιπους;

.

Ίσα αθροίσματα 2.png (29.37 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές

.
Ωραία η λύση του Γιώργου. Δίνω την δική μου. Υπόψη ότι και οι δύο λύσεις δείχνουν ότι η τελική διάταξη των αριθμών είναι μοναδική.

Ας εξετάσουμε μία τετράδα κύκλων οι οποίοι εφάπτονται μεταξύ τους, όπως οι εικονιζόμενη με τους κύκλους και . Σε αυτήν βλέπουμε δύο τριάδες κύκλων που εφάπτονται μεταξύ τους: Την τριάδα (η πράσινη) και μία κάτω αριστερά με τους . Από την υπόθεση έχουμε ότι , από όπου συμπεραίνουμε . Αυτό είναι και το κλειδί της άσκησης, συγκεκριμένα, στις διάφορες τετράδες κύκλων οι αριθμοί επαναλαμβάνονται. Με αυτό κατά νου μπορούμε να διαπιστώσουμε τα σημεία όπου υπάρχει ο αριθμός με βάση το που είναι ήδη σημειωμένο στο σχήμα. Εύκολα βλέπουμε ότι όλοι οι πράσινοι κύκλοι πρέπει να περιέχουν το . Όμοια, οι γαλάζιοι κύκλοι πρέπει να περιέχουν το και οι φαιόχρωμοι το . H εικόνα δείχνει το σχήμα συμπληρωμένο.