Άπειρο

[mick7]

Άπειρο

[Mihalis_Lambrou]

.
Αν πάρουμε τα τετράγωνα κεντραρισμένα (δηλαδή με κοινό κέντρο, όπως στο σχήμα), τότε η τομή τους είναι σημείο για τετριμμένο λόγο.

Όμως ισχύει το ίδιο για φωλιασμένα τετράγωνα, με οποιαδήποτε προσανατολισμό. Πρόκειται για γνωστό θεώρημα, το λεγόμενο Θεώρημα Cantor, που ισχύει σε ΠΟΛΥ γενικότερο πλαίσιο. Συγκεκριμένα , ισχύει για φωλιασμένα συμπαγή σύνολα. Βλέπε

εδώ

Ακριβέστερα, η τομή είναι μη κενή (αυτή είναι η ουσία του Θεωρήματος) και, επιπλέον, αν οι διάμετροι των συμπαγών συνόλων τείνουν στο , τότε η τομή είναι μονοσύνολο.

Το εν λόγω θεώρημα το βρίσκει κανείς σε όλες ανεξαιρέτως τις Τοπολογίες, και είναι θέμα που έχει μελετηθεί βαθύτατα.

Ας προσθέσω ότι τα μέσα της δεκαετίας του '80, το σχολικό βιβλίο της Α' Λυκείου (Βαρουχάκης και λοιπά) περιείχε την περίπτωση που συζητάμε για φωλιασμένα κλειστά διαστήματα. Το έθετε ως Αξίωμα, το λεγόμενο Αξίωμα του κυβωτισμού, στην κατασκευή του συνόλου των πραγματικών αριθμών. Οι συνέπειες της επιλογής αυτής ως ύλης στο Λύκειο, ήταν ατυχής. Στην πράξη κανείς δεν το δίδασκε.

[mick7]