Ασκηση στους μιγαδικους

GiannisL · #1

Αν για τους μιγαδικους z_1 ,z_2 ,...,z_k

ισχυει
$\left| {\frac{{z_1 - i}}{{z_1 + i}}} \right| + \left| {\frac{{z_2 - i}}{{z_2 + i}}} \right| + ... + \left| {\frac{{z_k - i}}{{z_k + i}}} \right| < 1$
τότε και
$\left| {\frac{{z_1 + z_2 + ... + z_k - i}}{{z_1 + z_2 + ... + z_k + i}}} \right| < 1$
Απο το βιβλίο Μαθηματικά Επιλογης της Β' Λυκειου του 1980

mostel · #2

GiannisL έγραψε:Αν για τους μιγαδικους ισχυει
$\left| {\frac{{z_1 - i}}{{z_1 + i}}} \right| + \left| {\frac{{z_2 - i}}{{z_2 + i}}} \right| + ... + \left| {\frac{{z_k - i}}{{z_k + i}}} \right| < 1$
τότε και
$\left| {\frac{{z_1 + z_2 + ... + z_k - i}}{{z_1 + z_2 + ... + z_k + i}}} \right| < 1$
Απο το βιβλίο Μαθηματικά Επιλογης της Β' Λυκειου του 1980

Την άσκηση αυτή την έχω συναντήσει στο "Μεθοδολογία των Μιγαδικών αριθμών" του Ανδρέα Πετράκη...

Η λύση βασίζεται στο εξής:

Αρχικά ισχύει ότι $\left|\frac{z_k -i}{z_k+i}\right|<1$ .

Για $k\in\{{1,2,\ldots, n\}$ .

Αρκεί να δείξουμε λοιπόν ότι ισχύει γενικώς:

Im(z_k)>0

.

Με την ίδια λογική ισχύει και :

$Im(\sum_{k=1}^n z_k) >0$ , και έτσι, σύμφωνα με το ίδιο πόρισμα που πρέπει να αποδείξουμε από πρίν (το αντίστροφό του), θα ισχύει το ζητούμενο.

Στέλιος

Ασκηση στους μιγαδικους

Ασκηση στους μιγαδικους

Re: Ασκηση στους μιγαδικους

Μέλη σε σύνδεση