'Αλλη μία με κυρτές συναρτήσεις

#1

Να αποδείξετε ότι αν η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε τα εξής είναι ισοδύναμα:
1) Η

είναι κυρτή.
2) Η $f^{\prime \prime }$ είναι παντού μη αρνητική και το σύνολο των ριζών της δεν περιέχει διάστημα.

Μαυρογιάννης

#2

nsmavrogiannis έγραψε:Να αποδείξετε ότι αν η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα τότε τα εξής είναι ισοδύναμα:
1) Η είναι κυρτή.
2) Η $f^{\prime \prime }$ είναι παντού μη αρνητική και το σύνολο των ριζών της δεν περιέχει διάστημα.

Μαυρογιάννης

Νίκο, ωραία επισήμανση και βασικό νομίζω συμπέρασμα. Έκανες πολύ καλά και το έκανες άσκηση, διότι οι μαθητές δυσκολεύονται με αυτούς τους συλλογισμούς. Δεν θα γράψω λεπτομέρειες για τη λύση, ώστε να την απαντήσει κάποιο νεότερο μέλος. Να πω μόνο αυτό: Αν η f '' είναι μηδέν σε κάποιο διάστημα, τότε η f ' είναι σταθερή στο διάστημα αυτό και έτσι δεν είναι γνησίως μονότονη (γν. αύξουσα) στο διάστημα αυτό, κάτι που απαιτεί ο ορισμός της κυρτής συνάρτησης. Από την άλλη, αν η f '' δεν μηδενίζεται σε διάστημα και δεν είναι πουθενά αρνητική, τότε η f ' είναι γνησίως αύξουσα (ως αύξουσα).
Καλό βράδυ σε όλους .

#3

Έστω $\Delta$ το διάστημα. Υποθέτουμε οτι η

είναι κυρτή στο $\Delta$ . Συνεπώς f '

γνησίως αύξουσα στο $\Delta$ .
Επειδή η

είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\Delta$ , θα ισχύει $f ' '(x)\geq 0,\forall x\in \Delta$ .
Αν υπήρχε διάστημα $\Delta_1$ , υποσύνολο του $\Delta$ , ώστε f ' '(x)=0

, για κάθε

στο $\Delta_1$ , τότε η f '

θα ήταν σταθερή. Άτοπο.
Αρα η f ' '

δε μηδενίζεται σε διάστημα.

Αντιστρόφως, έστω $f ' '(x)\geq 0, \forall x\in \Delta$ και τα σημεία μηδενισμού της f ' '

δε συνιστούν διάστημα. Τότε η

είναι αύξουσα στο $\Delta$ .Aν δεν ήταν γν.αύξουσα, θα υπήρχαν $x_1,x_2 \in Δ με χ \Delta ,~~x_1<x_2$ και f ' (x_1)=f '(x_2)

.
Τότε για κάθε $x \in [x_1,x_2]$ ισχύει: $f '(x_1)\leq f '(x )\leq f '(x_2)$ δηλαδή f '(x)=f '(x_1)=f '(x_2)

, που σημαίνει

σταθερή στο [x_1,x_2]

. Αρα

στο

. Άτοπο.
Αρα η

είναι γν. αύξουσα στο $\Delta$ . Συνεπώς η

κυρτή στο $\Delta$ .

Υ.Γ. παιδεύτηκα να γράψω την απάντηση, συγνώμη αν κάποιος την έχει απαντήσει ήδη, αλλά εντάξει, καίω κάρβουνο στην πληκτρολόγηση και γενικά τη χρήση του Η/Υ.

#4

chris_gatos έγραψε:Έστω Δ το διάστημα. Υποθέτουμε οτι η f είναι κυρτή στο Δ. Συνεπώς f' γνησίως αύξουσα στο Δ. Επειδή η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Δ, θα ισχύει f''(x)>=0 για κάθε χ στο Δ. Αν υπήρχε διάστημα Δ1, υποσύνολο του Δ, ώστε f''(x)=0, για κάθε χ στο Δ1, τότε η f' θα ήταν σταθερή. Άτοπο. Αρα η f'' δε μηδενίζεται σε διάστημα.

Αντιστρόφως, έστω f''(x)>=0 για κάθε χ στο Δ και τα σημεία μηδενισμού της f'' δε συνιστούν διάστημα. Τότε η f' είναι αύξουσα στο Δ.Aν δεν ήταν γν.αύξουσα, θα υπήρχαν χ1,χ2 στο Δ με χ1<χ2 και f'(x1)=f'(x2). Τότε για κάθε χ στο [χ1,χ2] ισχύει: f'(x1)<=f'(x)<=f'(x2) δηλαδή f'(x)=f'(x1)=f'(x2), που σημαίνει f' σταθερή στο [χ1,χ2]. Αρα f''(x)=0 στο [x1,x2]. Άτοπο.
Αρα η f' είναι γν. αύξουσα στο Δ. Συνεπώς η f κυρτή στο Δ.

Υ.Γ. παιδεύτηκα να γράψω την απάντηση, συγνώμη αν κάποιος την έχει απαντήσει ήδη, αλλά εντάξει, καίω κάρβουνο στην πληκτρολόγηση και γενικά τη χρήση του Η/Υ.

Το κριτήριο αυτό δεν χρειάζεται να εφαρμοστεί στην 2η παράγωγο για κυρτότητα αλλά μπορεί να εφαρμοστεί απ' ευθείας στην πρώτη προκειμένου να αποφανθεί κανείς για το ΓΝΗΣΙΩΣ μονότονο πχ

'Αλλη μία με κυρτές συναρτήσεις

'Αλλη μία με κυρτές συναρτήσεις

Re: 'Αλλη μία με κυρτές συναρτήσεις

Re: 'Αλλη μία με κυρτές συναρτήσεις

Re: 'Αλλη μία με κυρτές συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση