Εφαπτομένη, παραβολή και εύρεση συνάρτησης

Ιστοσελίδα · #1

Δίνονται τα σημεία $P(-a,k), A(a,0), \ a,k\in\mathbb{R}, a\neq 0, a$ σταθερό .
[α.] Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου $(\varepsilon)$ του ευθυγράμμου τμήματος

.
[β.] Na βρεθεί η εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκει το σημείο τομής της $(\varepsilon)$ με την ευθεία y=k

.
[γ.] Αν η συνάρτηση

είναι συνεχής στο διάστημα D_f

ώστε $0\in D_f$ και ικανοποιεί τη σχέση:
$\displaystyle f^2 (x) -4ax = 0, \forall x\in D_f$
[γi]. Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0

.
[γii.] Na αποδειχθεί ότι η

διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα $D_f - \{0 \}$ .
[γiii.] Να βρεθούν οι συναρτήσεις

, οι οποίες ικανοποιούν τις παραπάνω προϋποθέσεις.
[δ.] Να αποδειχθεί ότι η $(\varepsilon)$ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της

σε κάποιο σημείο της.

Σταμ. Γλάρος · #2

polysot έγραψε: Κυρ Δεκ 22, 2019 4:04 pm Δίνονται τα σημεία $P(-a,k), A(a,0), \ a,k\in\mathbb{R}, a\neq 0, a$ σταθερό .
[α.] Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου $(\varepsilon)$ του ευθυγράμμου τμήματος .
[β.] Na βρεθεί η εξίσωση της καμπύλης στην οποία ανήκει το σημείο τομής της $(\varepsilon)$ με την ευθεία .
[γ.] Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα ώστε $0\in D_f$ και ικανοποιεί τη σχέση:
$\displaystyle f^2 (x) -4ax = 0, \forall x\in D_f$
[γi]. Να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης .
[γii.] Na αποδειχθεί ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα $D_f - \{0 \}$ .
[γiii.] Να βρεθούν οι συναρτήσεις , οι οποίες ικανοποιούν τις παραπάνω προϋποθέσεις.
[δ.] Να αποδειχθεί ότι η $(\varepsilon)$ εφάπτεται στη γραφική παράσταση της σε κάποιο σημείο της.

Καλησπέρα και χρόνια πολλά

Μια προσπάθεια ...
[α] Έστω M(x,y)

σημείο της μεσοκαθέτου.
Έχουμε : (MA)=(MB)

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $\left ( x-a \right )^2+ y^2 =\left ( x+a \right )^2+\left ( y-k \right )^2$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $(\varepsilon): 4ax-2ky+k^2=0$ .

[β] Αντικαθιστώντας στην $(\varepsilon)$ όπου y=k

και λύνοντας ως προς

έχουμε : $x=\dfrac{k^2}{4a}$
Άρα η ζητούμενη εξίσωση της καμπύλης είναι : y^2=4ax

.
Παρακάτω έχουμε τις δύο γραφικές παραστάσεις.

: Εφαπτομένη, παραβολή και εύρεση συνάρτησης 1.png (29.93 KiB) Προβλήθηκε 1478 φορές

: Γραφική παράσταση 2.png (34.65 KiB) Προβλήθηκε 1478 φορές

[γi] Είναι $f(x)=0\Leftrightarrow f^2(x)=0\Leftrightarrow 4ax=0\Leftrightarrow x=0$ , μοναδική λύση.

[γii] Εστω D_f=(b,c)

H

είναι συνεχής στο (b,0)

και $f(x)\neq 0, \forall x\in(b,0)$ .
Επίσης

είναι συνεχής στο (0,c)

και $f(x)\neq 0, \forall x\in(0,c)$ .
Άρα η

διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα $D_f - \{0 \}$ .

[γiii] Είναι f^2 (x) -4ax = 0

$\Leftrightarrow$ f^2 (x) = 4ax

και επειδή η

διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα $D_f - \{0 \}$
διακρίνουμε τις εξής περιπρτώσεις :
1) $f(x)>0,\,\,\,\,\forall x\in(b,0)\cup (0,c)$ και $f(x)=2\sqrt{ax}$ .
Γνωρίζουμε από την θεωρία της παραβολής ότι a,x

ομόσημοι.
Συνεπώς στις παραπάνω γραφικές παραστάσεις έχουμε τα τμήματα των παραβολών που βρίσκονται πάνω από τον xx'

.

2) $f(x)>0,\,\,\,\,\forall x\in(b,0)$ και $f(x)<0,\,\,\,\,\forall x\in(0,c)$
Άρα $f(x)=\left\{\begin{matrix} 2\sqrt{ax} , x<0& \\ -2\sqrt{ax},x>0 & \end{matrix}\right.$
Τώρα στις παραπάνω γραφικές παραστάσεις έχουμε το τμήμα της παραβολής που βρίσκεται πάνω από τον xx'

στην περίπτωση της παραβολής με a<0

(σχήμα 2) και το τμήματης παραβολής που βρίσκεται κάτω από τον xx'

στην περίπτωση της παραβολής με a>0

(σχήμα 1).

3) $f(x)<0,\,\,\,\,\forall x\in(b,0)$ και $f(x)>0,\,\,\,\,\forall x\in(0,c)$
Άρα $f(x)=\left\{\begin{matrix} -2\sqrt{ax} , x<0& \\ 2\sqrt{ax},x>0 & \end{matrix}\right.$
Τώρα στις παραπάνω γραφικές παραστάσεις έχουμε το τμήμα της παραβολής που βρίσκεται κάτω από τον xx'

στην περίπτωση της παραβολής με a<0

(σχήμα 2) και το τμήματης παραβολής που βρίσκεται πάνω από τον xx'

στην περίπτωση της παραβολής με a>0

(σχήμα 1).

4) $f(x)<0,\,\,\,\,\forall x\in(b,0)\cup (0,c)$ και $f(x)=2\sqrt{ax}$ .
Γνωρίζουμε από την θεωρία της παραβολής ότι a,x

ομόσημοι.
Συνεπώς στις παραπάνω γραφικές παραστάσεις έχουμε τα τμήματα των παραβολών που βρίσκονται κάτω από τον xx'

.

[δ] Προφανές από τις παραπάνω γραφικές παραστάσεις.

Χρόνια πολλά και ευτυχισμένος ο καινούργιος χρόνος.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Εφαπτομένη, παραβολή και εύρεση συνάρτησης

Εφαπτομένη, παραβολή και εύρεση συνάρτησης

Re: Εφαπτομένη, παραβολή και εύρεση συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση