Μονοτονία

Nikos002 · #1

f συνεχής
f γνησίως αύξουσα
$f^{-1}$
Συνεχής
Να δείξετε ότι $f^{-1}$
είναι γνησίως αυξουσα
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα η $f^{-1}$
Έστω $x_1,x_2 \in (-oo,0)$
$x_1<x_2 \Rightarrow 0<f^{-1}(x_1)<f^{-1}(x_2)<1 \Rightarrow f(f^{-1}(x_1))<f(f^{-1}(x_2)) \Rightarrow x_1<x_2 <0$
Το θεωρείτε σωστό ως σκέψη
( Καλή χρονιά ,χρόνια πολλά με υγεία σε όλους )

[/quote]

#2

Nikos002 έγραψε: Παρ Ιαν 04, 2019 8:10 pm

f συνεχής
f γνησίως αύξουσα
$f^{-1}$
Συνεχής
Να δείξετε ότι $f^{-1}$
είναι γνησίως αυξουσα
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα η $f^{-1}$
Έστω $x_1,x_2 \in (-oo,0)$
$x_1<x_2 \Rightarrow 0<f^{-1}(x_1)<f^{-1}(x_2)<1 \Rightarrow f(f^{-1}(x_1))<f(f^{-1}(x_2)) \Rightarrow x_1<x_2 <0$
Το θεωρείτε σωστό ως σκέψη

Όχι. Η σκέψη είναι πολύ λάθος. Δεν μπορείς να υποθέσεις το αποδεικτέο.

Ωστόσο η άσκηση είναι πολλή απλή, και δεν πρέπει να έχεις καμία δυσκολία να την λύσεις.

Nikos002 · #3

#4

Nikos002 έγραψε: Παρ Ιαν 04, 2019 9:37 pm $x_1 <x_2 \Rightarrow f(f^{-1}(x_1))<f(f^{-1}(x_2)) \Rightarrow f^{-1}(x_1)<f^{-1}(x_2)$

Ελπίζω να μην αρχίσουμε και πάλι έναν ατέρμονα διάλογο όπως εδώ όπου γράφεις χωρίς να το έχεις σκεφτεί επαρκώς.

Το παραπάνω είναι προβληματικό. Από που συμπεραίνεις την τελευταία συνεπαγωγή; Σε ποια ιδιότητα της

στηρίχθηκες; Η υπόθεση για την

λέει άλλο πράγμα.

Παρακαλώ να γράφεις ΜΟΝΟ αφού έχεις σκεφθεί πολύ αυτό που πας να γράψεις. Θέλουμε να σε βοηθήσουμε, και θα το κάνουμε με χαρά, αλλά αν δεν μας βοηθάς και εσύ, σπαταλάμε άσκοπη ενέργεια.

Nikos002 · #5

$f(f^{-1}(x))= x , x\in f(A)$

γνησίως αύξουσα

#6

Nikos002 έγραψε: Παρ Ιαν 04, 2019 10:02 pm $f(f^{-1}(x))= x , x\in f(A)$
γνησίως αύξουσα

.
Έλεος πια.
.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιαν 04, 2019 9:51 pm Παρακαλώ να γράφεις ΜΟΝΟ αφού έχεις σκεφθεί πολύ αυτό που πας να γράψεις. Θέλουμε να σε βοηθήσουμε, και θα το κάνουμε με χαρά, αλλά αν δεν μας βοηθάς και εσύ, σπαταλάμε άσκοπη ενέργεια.

Η υπόθεση ότι η

γνησίως αύξουσα σημαίνει $x_1< x_1 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ , δηλαδή σαν να "προσθέτουμε" την

στα δύο μέλη της x_1< x_1

. Ο τρόπος που την χρησιμοποίησες στο σημείο που ανέφερα, δηλαδή το

$f(f^{-1}(x_1))<f(f^{-1}(x_2)) \Rightarrow f^{-1}(x_1)<f^{-1}(x_2)$

είναι ότι την "αφαίρεσες". Άλλο το ένα, άλλο το άλλο!

Παρακαλώ διάβασε το παραπάνω μήνυμα και προσπάθησε να καταλάβεις τι εννοώ. Δεν μπορούμε να βοηθήσουμε χωρίς δική σου αρωγή.

Nikos002 · #7

Δεν είναι ισοδύναμες ? $x_1<x_2 \Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)$

#8

Παραδίνομαι. Έκανα φιλότιμες προσπάθειες αλλά δεν φαίνεται να ευόδωσαν.

Ας συνεχίσει άλλος την ατέρμονα συζήτηση.

Nikos002 · #9

Που είναι το λάθος στην λύση δεν μου έχετε εξηγήσει γιατί εγώ δεν το βλέπω , και αφού δεν έχετε κουράγιο να μιλάτε με εμένα να με βοηθήσει σε αυτήν την άσκηση κάποιος άλλος αν μπορεί
που είναι το λάθος ??? Κύριε Μιχάλη

Chagi · #10

Καλησπέρα!!

Προσωπικά εγώ θα έλυνα την άσκηση διαφορετικά.
Έστω x_1< x_2

με $x_1,x_2 \in (-\infty,0)$ και έστω ότι ισχύει:

$f^{-1}(x_1)\ge f^{-1}(x_2)$
Τότε λόγω υπόθεσης θα έχουμε
$f(f^{-1}(x_1))\ge f( f^{-1}(x_2))$ το οποίο είναι ισοδύναμο με το:
$x_1\ge x_2$
Καταλήγουμε έτσι σε άτοπο και η συνέχεια είναι προφανής.

Υ.Γ: Κύριε Λάμπρου επειδή και εγώ μπερδεύτηκα με τα παραπάνω. Η χρήση της ισοδυναμίας είναι λανθασμένη στη μονοτονία; Γιατί στο σχολείο έτσι το μαθαίνουμε.

Nikos002 · #11

Λάθος δεν είναι όμως δεν ξέρω τι θέλει να πει ο ποιητής

sov_arvyd · #12

Το ότι η

είναι γνησίως αύξουσα σημαίνει ότι για κάθε $x_1,x_2\in(0,1)$ είναι $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ . Η αντίστροφη συνεπαγωγή αποδεικνύεται. Βέβαια στις πανελλήνιες μπορεί κάποιος να την επικαλεστεί χωρίς απόδειξη. Από αυτή τη σκοπιά για την τελευταία συνεπαγωγή στο παρακάτω

Nikos002 έγραψε: Παρ Ιαν 04, 2019 9:37 pm $x_1 <x_2 \Rightarrow f(f^{-1}(x_1))<f(f^{-1}(x_2)) \Rightarrow f^{-1}(x_1)<f^{-1}(x_2)$

επαρκή αιτιολόγηση αποτέλει το ότι η

είναι γνησίως αύξουσα.
Μιας και η απόδειξη είναι παραπάνω από προσιτή για τον φάκελο, πάντως, καλό θα ήταν να την επιχειρήσεις (αν δεν την ξέρεις ήδη), και να αναρτήσεις εδώ την προσπάθειά σου, καθώς σκοπός είναι να πιάσεις την ουσία αυτού που έγραψες.

Nikos002 · #13

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Ιαν 04, 2019 10:41 pm Παραδίνομαι. Έκανα φιλότιμες προσπάθειες αλλά δεν φαίνεται να ευόδωσαν.

Ας συνεχίσει άλλος την ατέρμονα συζήτηση.

Ακόμα περιμένω για την υπόδειξη του λάθους μου στην λύση που έδειξα .....

#14

Αν και διαισθάνομαι μία υποβόσκουσα ειρωνεία εδώ

Nikos002 έγραψε: Παρ Ιαν 04, 2019 11:50 pm Λάθος δεν είναι όμως δεν ξέρω τι θέλει να πει ο ποιητής

.
και εδώ
.

Nikos002 έγραψε: Σάβ Ιαν 05, 2019 12:56 pm Ακόμα περιμένω για την υπόδειξη του λάθους μου στην λύση που έδειξα .....

.

θα την αντιπαρέλθω αν και νοιώθω ότι ματαιοπονώ (αφού το ερώτημά σου έχει ήδη απαντηθεί
δύο φορές από εμένα και άλλη μία από τον sov_arvyd).

Ας είναι. Φαίνεται ότι κυριαρχεί μέσα μου ο δάσκαλος, καθώς θυμάμαι την απάντηση του Πλατωνικού φιλόσοφου
Αρίστιππου όταν ρωτήθηκε γιατί διδάσκει αδύνατους μαθητές. "Είναι όπως οι γιατροί. Επισκέπτονται τους
ασθενείς γιατί αυτοί σε έχουν ανάγκη."

Στο θέμα μας.

Στα παραπάνω, με τα συμφραζόμενα σε αυτά που έγραψες, εμφανίζονται δύο ορισμοί γνήσια αύξουσας συνάρτησης.

Πρώτον, όταν έχουν την ιδιότητα $x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ (απλή συνεπαγωγή)

Δεύτερον, όταν έχουν την ιδιότητα $x_1<x_2 \Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2)$ (διπλή συνεπαγωγή).

Τώρα, αν εργαστούμε με τον πρώτο ορισμό (απλή συνεπαγωγή) τότε στην απόδειξή σου στο ποστ #3

Nikos002 έγραψε: Παρ Ιαν 04, 2019 9:37 pm $x_1 <x_2 \Rightarrow f(f^{-1}(x_1))<f(f^{-1}(x_2)) \Rightarrow f^{-1}(x_1)<f^{-1}(x_2)$

χρησιμοποιείς τον δεύτερο. Άρα η απόδειξη σου είναι εσφαλμένη, όπως επεσήμανα στο ποστ μου #6.

Αν πάλι εργαστούμε με τον δεύτερο ορισμό (διπλή συνεπαγωγή) τότε στην απόδειξή σου στο ποστ #3 έχεις αποδείξει μόνο
το $\Rightarrow$ . Χάθηκε το μέρος της απόδειξης που θέλει το $\Leftarrow$ για να συμπληρωθεί το $\Leftrightarrow$ . Πάλι
λοιπόν έχουμε πρόβλημα.

Με λίγα λόγια, όπως και αν το πάρεις, έχουμε πρόβλημα.

Ελπίζω να έγινα κατανοητός. Δεν μπορώ να τα πω με πιο απλά λόγια. Εξάντλησα τα περιθώριά μου. Ας προσθέσω ότι το αρχικό ερώτημα είναι πάρα, μα πάρα, πολύ απλό που δεν βλέπω γιατί πρέπει να φτάσουμε

ποστ για να αποφανθούμε. Και για να θυμηθώ την αρχαία παροιμία, "ώδινεν όρος και έτεκεν μυν".

Εδώ κλείνω αλλά δεν θα επιστρέψω. Δυστυχώς δεν έχω την ολκή του Αρίστιππου για να συνεχίσω την ατέρμονα συζήτηση. Είμαι μικρός μπροστά του, άσε που έχω υπερβολικό φόρτο εργασίας, που δεν μου δίνει την πολυτελή δυνατότητα μικροσυζήτησης δια πληκτρολογίου.

Nikos002 · #15

Μπορούσατε πολύ απλά ότι λείπει η ισοδυναμία αντί της συνεπαγωγης στην δεύτερη λύση όπου έγραψα. .Τοσο απλά και έτσι να μην ταραχθειται , ευχαριστώ πολύ για τις παρατηρήσεις ...

#16

Nikos002 έγραψε: Σάβ Ιαν 05, 2019 8:25 pm Μπορούσατε πολύ απλά ότι λείπει η ισοδυναμία αντί της συνεπαγωγης στην δεύτερη λύση όπου έγραψα. .Τοσο απλά και έτσι να μην ταραχθειται , ευχαριστώ πολύ για τις παρατηρήσεις ...

Πάλι δεν φαίνεται να έχεις καταλάβει τι γράφω. Σηκώνω τα χέρια ψηλά.

Με απλά λόγια, έχεις χρησιμοποιήσει ΔΥΟ διαφορετικούς ορισμούς. Ο ένας έχει διπλή συνεπαγωγή και ο άλλος δεν έχει, όπως τόνισα με σαφήνεια. Οπότε τι ακριβώς θα πω ότι λείπει. Σου τόνισα κάτι βαθύτερο (*), συγκεκριμένα κάποιο κενό ή λάθος του συλλογισμού σου, ΚΑΤΑ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ. Άλλο είναι το λάθος στον ένα συλλογισμό και άλλο στον δεύτερο. Έλεος.

(*) χαράς το πράγμα βέβαια αφού η άσκηση είναι ιδιαίτερα απλή, αλλά πνιγόμαστε σε μία κουταλιά.

stranger · #17

Η απόδειξη του Nikos002 είναι απόλυτα σωστή.
Οι δύο ορισμοί της μονοτονίας που αναφέρεται ο Κύριος Λάμπρου είναι ισοδύναμοι.

#18

stranger έγραψε: Δευ Ιαν 14, 2019 6:19 am Η απόδειξη του Nikos002 είναι απόλυτα σωστή.
Οι δύο ορισμοί της μονοτονίας που αναφέρεται ο Κύριος Λάμπρου είναι ισοδύναμοι.

Η ένστασή μου είναι ότι αυτό πρέπει να αποδειχθεί και όχι να χρησιμοποιούμε την μία φορά τον έναν ορισμό και την άλλη, τον άλλο.

Ας επαναλάβω, για να μην παρεξηγούμαι: Η απόδειξη είναι απόλυτα τετριμμένη. Και ισοδυναμία είναι απόλυτα τετριμμένη. Αλλά όταν πάμε να βοηθήσουμε μαθητή που βρίσκεται στα αρχικά στάδια της παιδείας του (όπως και εμείς κάποτε) πρέπει με ιδιαίτερη επιμέλεια να του δείχνουμε τα όποια σφάλματα, εδώ και εκεί, και τα όποια κενά στον συλλογισμό του. Ακόμα καλύτερα, να τον ενθαρρύνουμε να τα βρίσκει μόνος του, όταν είναι προσιτά θέματα.

Για παράδειγμα όταν ο μαθητής έχει το εξής

Nikos002 έγραψε: Παρ Ιαν 04, 2019 8:10 pm Να δείξετε ότι $f^{-1}$
είναι γνησίως αυξουσα
Μπορούμε να υποθέσουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα η $f^{-1}$

έχουμε διπλό χρέος να τον ενθαρρύνουμε να ξεκαθαρίσει στο μυαλό του την κατάσταση. Τελεία και παύλα.

Μονοτονία

Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση