Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

#1

Άσκηση 1
Έστω $\displaystyle f:[2,+\infty )\to R$ με $\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1$ . Να δείξετε ότι είναι $\displaystyle 1-1$ και να βρείτε την $\displaystyle {{f}^{-1}}(x)$
Λύση
$\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1={{(x+2)}^{2}}-3$ και $\displaystyle f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\Rightarrow ...\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$ , άρα είναι $\displaystyle 1-1$ . Μετά :
$\displaystyle \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y = {(x + 2)^2} - 3\\ x \ge 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y + 3 = {(x + 2)^2}\\ x \ge 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {y + 3} = |x + 2|}\\ {x \ge 2}\\ {y + 3 \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {y + 3} = x + 2}\\ {x \ge 2}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right.\\ \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {x \ge 2}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {\sqrt {y + 3} - 2 \ge 2}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {\sqrt {y + 3} \ge 4}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {\sqrt {y + 3} \ge 4}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \\ \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {y \ge 13}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f^{ - 1}}(y) = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {y \ge 13} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f^{ - 1}}(x) = \sqrt {x + 3} - 2}\\ {x \ge 13} \end{array}} \right. \end{array}$

Άρα : $\displaystyle {{f}^{-1}}:[13,+\infty )\to [2,+\infty )$ με $\displaystyle {{f}^{-1}}(x)=\sqrt{x+3}-2$

Άσκηση 2
Έστω $\displaystyle f:[-2,+\infty )\to R$ με $\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1$ . Να δείξετε ότι είναι $\displaystyle 1-1$ και να βρείτε την $\displaystyle {{f}^{-1}}(x)$

Θεωρείτε ότι η άσκηση 2 πρέπει να έχει την ίδια ακριβώς αντιμετώπιση με την 1 ή όχι ;

Σταμ. Γλάρος · #2

exdx έγραψε: Σάβ Σεπ 19, 2020 12:06 pm Άσκηση 1
Έστω $\displaystyle f:[2,+\infty )\to R$ με $\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1$ . Να δείξετε ότι είναι $\displaystyle 1-1$ και να βρείτε την $\displaystyle {{f}^{-1}}(x)$
Λύση
$\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1={{(x+2)}^{2}}-3$ και $\displaystyle f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\Rightarrow ...\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$ , άρα είναι $\displaystyle 1-1$ . Μετά :
$\displaystyle \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} y = {(x + 2)^2} - 3\\ x \ge 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y + 3 = {(x + 2)^2}\\ x \ge 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {y + 3} = |x + 2|}\\ {x \ge 2}\\ {y + 3 \ge 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\sqrt {y + 3} = x + 2}\\ {x \ge 2}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right.\\ \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {x \ge 2}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {\sqrt {y + 3} - 2 \ge 2}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {\sqrt {y + 3} \ge 4}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {\sqrt {y + 3} \ge 4}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \\ \\ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {y \ge 13}\\ {y \ge - 3} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f^{ - 1}}(y) = \sqrt {y + 3} - 2}\\ {y \ge 13} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f^{ - 1}}(x) = \sqrt {x + 3} - 2}\\ {x \ge 13} \end{array}} \right. \end{array}$

Άρα : $\displaystyle {{f}^{-1}}:[13,+\infty )\to [2,+\infty )$ με $\displaystyle {{f}^{-1}}(x)=\sqrt{x+3}-2$

Άσκηση 2
Έστω $\displaystyle f:[-2,+\infty )\to R$ με $\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1$ . Να δείξετε ότι είναι $\displaystyle 1-1$ και να βρείτε την $\displaystyle {{f}^{-1}}(x)$

Θεωρείτε ότι η άσκηση 2 πρέπει να έχει την ίδια ακριβώς αντιμετώπιση με την 1 ή όχι ;

Καλησπέρα Γιώργη.
Πολύ ωραίος και γόνιμος προβληματισμός.
Νομίζω ότι η διαφορά είναι στο πεδίο ορισμού καθώς και στο σύνολο τιμών.
Συνεπώς έχουμε $x\geq -2$ αντί για $x\geq 2$ και $\sqrt{y+3}-2\geq -2$ αντί για $\sqrt{y+3}-2\geq 2$ .
Από τα παραπάνω προκύπτει :
$\displaystyle {{f}^{-1}}:[-3,+\infty ) \to [-2,+\infty ) , \mu \varepsilon \,\,\,\displaystyle {{f}^{-1}}(x)=\sqrt{x+3}-2$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Λάμπρος Κατσάπας · #3

exdx έγραψε: Σάβ Σεπ 19, 2020 12:06 pm
$\displaystyle f(x)={{x}^{2}}+4x+1={{(x+2)}^{2}}-3$ και $\displaystyle f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})\Rightarrow ...\Rightarrow {{x}_{1}}={{x}_{2}}$ , άρα είναι $\displaystyle 1-1$ .

Αυτό το κομμάτι είναι περιττό. Η λύση για το πρώτο είναι πλήρης αν κρατήσουμε μόνο τα επόμενα.

#4

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Δευ Σεπ 21, 2020 10:57 am Αυτό το κομμάτι είναι περιττό. Η λύση για το πρώτο είναι πλήρης αν κρατήσουμε μόνο τα επόμενα.

Συμφωνώ . Απλώς είχε χωριστό ερώτημα για το $\displaystyle 1 - 1$

Σταμ. Γλάρος έγραψε: Σάβ Σεπ 19, 2020 11:34 pm Συνεπώς έχουμε $x\geq -2$ αντί για $x\geq 2$ και $\sqrt{y+3}-2\geq -2$ αντί για $\sqrt{y+3}-2\geq 2$ .
Από τα παραπάνω προκύπτει :
$\displaystyle {{f}^{-1}}:[-3,+\infty ) \to [-2,+\infty ) , \mu \varepsilon \,\,\,\displaystyle {{f}^{-1}}(x)=\sqrt{x+3}-2$ .

Ο προβληματισμός μου είναι αν χρειάζεται και στην άλλη άσκηση η απαίτηση $\displaystyle x \ge - 2$ έστω κι αν δεν δίνει τελικά κάτι .
Η άσκηση είναι απ΄το study4exams και τη λύνουν όπως στο συνημμένο .

Antonis Loutraris · #5

Γιώργη καλημέρα!

Ελπίζω να είσαι καλά!

Από καθαρά διδακτικής σκοπιάς, ανεξάρτητα αν στην συγκεκριμένη άσκηση δεν δίνει τελικά κάτι,
η γνώμη μου είναι ότι πρέπει να γραφεί στην πορεία εύρεσης της αντίστροφης προκειμένου να μην υπάρξει σύγχυση
στο μαθητή πότε γράφουμε την απαίτηση για το

με βάση το πεδίο ορισμού και πότε όχι.

Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

Re: Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

Re: Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

Re: Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

Re: Αντίστροφη- 2 ασκήσεις

Μέλη σε σύνδεση