Υπάρξη ρίζας

Tolaso J Kos · #1

Να δειχθεί ότι κάθε θετικός αριθμός $\alpha$ έχει ακριβώς μία νιοστή ρίζα.

#2

Για καθε $\displaystyle{a>0}$ υπαρχει μοναδικό $\displaystyle{x>0:x^n=a,n\in N*}$
με εφαρμογή του ΘΒ για την $\displaystyle{f(x)=x^n-a}$ στο $\displaystyle{[0,1+a]}$ με την βοήθεια Bernoulli προκυπτει το ζητούμενο. Μονοτονία για την μοναδικότητα

#3

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Νοέμ 28, 2020 8:49 am Να δειχθεί ότι κάθε θετικός αριθμός $\alpha$ έχει ακριβώς μία νιοστή ρίζα.

Η απόδειξη με σχολκά μέσα είναι βέβαια αυτή που δίνει ο Γιώργος. Αλλά για όφελος των μαθητών ας τονισθεί ότι η απόδειξη
το θεωρήματος Bolzano στην οποία βασίστηκε ο συλλογισμός, δεν έχει αποδειχθεί στα πλαίσια του Σχολείου. Δίνεται (και σωστά)
χωρίς απόδειξη αλλά με "ερμηνεία".

Η πλήρης απόδειξη χρειάζεται το λεγόμενο "αξίωμα πληρότητας" το οποίο μαθαίνει κανείς όταν σπουδάζει για πτυχίο Μαθηματικού, και
μπορεί να το βρει σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης. Για τα σχολικά πλαίσια, ξεφεύγει.

Ας κλείσω λέγοντας ότι ή πλήρης απόδειξη και του Bolzano και της ύπαρξης νιοστής ρίζας πρέπει κάπου να χρησιμοποιήσει το "αξίωμα πληρότητας" στην μία ή στην άλλη του μορφή. Αλλιώς θα ίσχυαν τα εν λόγω θεωρήματα όταν το σύνολο αναφοράς ήταν το $\mathbb Q$ , που όμως με παράδειγμα μπορούμε να δούμε ότι δεν ισχύουν. Τέτοιο παράδειγμα είναι η f(x)=x^2-2

(γιατί;).

Tolaso J Kos · #4

Σωστά Ροδόλφε,

R BORIS έγραψε: Σάβ Νοέμ 28, 2020 9:16 am Για καθε $\displaystyle{a>0}$ υπαρχει μοναδικό $\displaystyle{x>0:x^n=a,n\in N*}$
με εφαρμογή του ΘΒ για την $\displaystyle{f(x)=x^n-a}$ στο $\displaystyle{[0,1+a]}$ με την βοήθεια Bernoulli προκυπτει το ζητούμενο. Μονοτονία για την μοναδικότητα

Θα δείξουμε ότι για κάθε $\alpha>0$ υπάρχει $\xi>0$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle{\xi^\nu = \alpha \; , \; \nu \in \mathbb{N}^*}$
Θεωρούμε τη συνάρτηση $f(x) = x^\nu - \alpha$ είναι συνεχής στο $[0, +\infty)$ . Παρατηρούμε ότι $f(0) =-\alpha<0$ και

$\displaystyle{f \left ( \alpha +1 \right ) = \left ( \alpha +1 \right )^\nu - \alpha \geq 1 + \alpha \nu - \alpha = 1 + \alpha \left ( \nu - 1 \right ) >0}$

λόγω της ανισότητας Bernoulli. Συνεπώς υπάρχει τουλάχιστον ένα $\xi \in \left(0, \alpha + 1\right) \subseteq [0, +\infty)$ τέτοιο ώστε

$\displaystyle{f(\xi) = 0 \Leftrightarrow \xi^\nu = \alpha}$
Όμως η

είναι γνησίως αύξουσα , άρα το $\xi$ είναι μοναδικό.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Νοέμ 28, 2020 10:15 am
Ας κλείσω λέγοντας ότι ή πλήρης απόδειξη και του Bolzano και της ύπαρξης νιοστής ρίζας πρέπει κάπου να χρησιμοποιήσει το "αξίωμα πληρότητας" στην μία ή στην άλλη του μορφή. Αλλιώς θα ίσχυαν τα εν λόγω θεωρήματα όταν το σύνολο αναφοράς ήταν το $\mathbb Q$ , που όμως με παράδειγμα μπορούμε να δούμε ότι δεν ισχύουν. Τέτοιο παράδειγμα είναι η (γιατί;).

Μιχάλη , δε διαφωνώ .. μόνο η άσκηση που έβαλα είναι άσκηση σε φυλλάδιο.

#5

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Νοέμ 28, 2020 3:37 pm Μιχάλη , δε διαφωνώ .. μόνο η άσκηση που έβαλα είναι άσκηση σε φυλλάδιο.

Τόλο, το ξέρω. Αυτά που έγραψα απευθύνονται σε μαθητές για να τους επισημαν ότι κάπου, κρυφά, χρειαζεται κάτι βαθύτερο.

Όταν τα επισημαίνω αυτά σε φοιτητές σε μαθήματα Ανάλυσης, τους φαίνονται (και σωστά) περίεργα. Εδώ μου δόθηκε η ευκαιρία να τα πω στους μαθητές μας που, πολλοί από αυτούς, είναι δυνατοί και θα χαρούν να τα ακούσουν.

Υπάρξη ρίζας

Υπάρξη ρίζας

Re: Υπάρξη ρίζας

Re: Υπάρξη ρίζας

Re: Υπάρξη ρίζας

Re: Υπάρξη ρίζας

Μέλη σε σύνδεση