Μονοτονία

#1

Είναι γνωστός ο ορισμός της μονοτονίας μιας συνάρτησης

σε ένα διάστημα Α.

Απορία μαθητή:

Αν για κάθε ${x_1},{x_2}$ του διαστήματος

, καθώς $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ αποδείξω ότι ${x_1} < {x_2}$

είναι λάθος να ισχυριστώ ότι η συνάρτηση

είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα αυτό ;

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Για μια σταθερή συνάρτηση

η συνεπαγωγή είναι αληθής αλλά η

δεν είναι γνησίως αύξουσα.

abgd · #3

Ένα άλλο παράδειγμα στο οποίο ισχύει η συνεπαγωγή αλλά η συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα και ίσως να είναι πιο κατανοητό στο μαθητή είναι το εξής:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x & , & x\leq0\\ \frac{1}{x} & , & x>0 \end{matrix}\right.$

Εδώ είναι εύκολο να δούμε ότι:

Αν $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ με f(x_1)<f(x_2)

τότε:

Όμως η συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$

#4

abgd έγραψε: Πέμ Νοέμ 04, 2021 9:12 pm Ένα άλλο παράδειγμα στο οποίο ισχύει η συνεπαγωγή αλλά η συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα και ίσως να είναι πιο κατανοητό στο μαθητή είναι το εξής:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x & , & x\leq0\\ \frac{1}{x} & , & x>0 \end{matrix}\right.$

Εδώ είναι εύκολο να δούμε ότι:

Αν $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ με τότε: (*)

Όμως η συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$

Προσοχή, δεν είναι σωστό το παράδειγμα. Π.χ. αν $x_1=2,\, x_2=1$ , τότε $f(x_1)= \dfrac {1}{2} < 1 = f(x_2)$ αλλά δεν ισχύει x_1<x_2

, αντίθετα από τον ισχυρισμό (*).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Doloros έγραψε: Πέμ Νοέμ 04, 2021 1:38 am Είναι γνωστός ο ορισμός της μονοτονίας μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Α.

Απορία μαθητή:

Αν για κάθε ${x_1},{x_2}$ του διαστήματος , καθώς $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ αποδείξω ότι ${x_1} < {x_2}$

είναι λάθος να ισχυριστώ ότι η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα αυτό ;

Σωστό είναι έτσι

Αν για κάθε ${x_1},{x_2}$ του διαστήματος

, καθώς $f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)$ αποδείξω ότι ${x_1} < {x_2}$

είναι λάθος να ισχυριστώ ότι η συνάρτηση

είναι αύξουσα στο διάστημα αυτό ;

Μάλλον μπήκε μια λέξη κατά λάθος.

abgd · #6

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Νοέμ 04, 2021 10:02 pm
abgd έγραψε: Πέμ Νοέμ 04, 2021 9:12 pm Ένα άλλο παράδειγμα στο οποίο ισχύει η συνεπαγωγή αλλά η συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα και ίσως να είναι πιο κατανοητό στο μαθητή είναι το εξής:

$f(x)=\left\{\begin{matrix} x & , & x\leq0\\ \frac{1}{x} & , & x>0 \end{matrix}\right.$

Εδώ είναι εύκολο να δούμε ότι:

Αν $x_1,x_2 \in \mathbb{R}$ με τότε: (*)

Όμως η συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}$
Προσοχή, δεν είναι σωστό το παράδειγμα. Π.χ. αν $x_1=2,\, x_2=1$ , τότε $f(x_1)= \dfrac {1}{2} < 1 = f(x_2)$ αλλά δεν ισχύει , αντίθετα από τον ισχυρισμό (*).

Ναι!

Προφανώς έγραψα λάθος παράδειγμα. Άλλο πράγμα είχα κατά νου.
Αν έχει πλέον κάποια αξία, να προτείνω μια διόρθωση:
$f(x)=\left\{\begin{matrix} x & , & x\leq0\\ 1 & , & x>0 \end{matrix}\right.$

Μονοτονία

Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Re: Μονοτονία

Μέλη σε σύνδεση