Όριο με ακέραιο μέρος

#1

Έστω $a_1,\,a_2,\, ... \, , a_n$ πραγματικοί αριθμοί. Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle{\lim _{x\to 0} (a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n) \left [ \dfrac {1}{x}\right ] }$ .

To [.]

συμβολίζει ακέραιο μέρος.

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #2

Aπό τα βασικά για το ακέραιο μέρος πραγματικού αριθμού ισχύει ότι

$\displaystyle\frac{1}{x}-1< \left [ \dfrac {1}{x}\right ]\leq \frac{1}{x}$

Noμίζω ότι εύκολα καταλαβαίνει κάποιος ότι η ποσότητα

$(a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n) \left [ \dfrac {1}{x}\right ]$

βρίσκεται μεταξύ των ποσοτήτων

$(a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n) \dfrac {1}{x}\right$ και

$\displaystyle(a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n) \right\left ( \frac{1}{x}-1 \right )$

Eύκολα διαπιστώνεται ότι

$\displaystyle{\lim _{x\to 0} \left [(a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n) \dfrac {1}{x}\right ]=a_1$

και ότι

$\displaystyle {\lim _{x\to 0} \left [ (a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n) \right\left ( \frac{1}{x}-1 \right ) ]=a_1$

Συνεπώς το ζητούμενο όριο είναι ίσο με a_1

Μιχάλη, πιστεύω να είναι ικανοποιητική η λύση μου. Να ήξερες τι μου θύμισες...

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε: Κυρ Δεκ 11, 2022 3:39 pm Μιχάλη, πιστεύω να είναι ικανοποιητική η λύση μου. Να ήξερες τι μου θύμισες...

Tηλέμαχε, ικανοποιητικότατη. Αυτήν έχω κατά νου ή την εξής παραλλαγή της: Γράφουμε $\left [\dfrac {1}{x} \right ] = \dfrac {1}{x} - \left \{ \dfrac {1}{x} \right \}$ , όπου $\{.\}$ το κλασματικό μέρος, που είναι βέβαια αριθμός στο $[0,\, 1)$ . Οπότε

$p(x) \dfrac {1}{x}\to a_1$ και $p(x) \left \{ \dfrac {1}{x} \right \}\to 0$ , ως μηδενική επί φραγμένη.

Φαντάζομαι ότι σου θύμισα κάτι από την προετοιμασία σου για εισαγωγικές εξετάσεις, στα μαθητικά σου χρόνια. Το πέτυχα;

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #4

Και βέβαια το πέτυχες...
Σχολικό έτος 1984-1985, πάλευα κάθε μέρα με απαιτητικές ασκήσεις Μαθηματικών και Φυσικής. Για μένα τότε η επιτυχία στις Πανελλήνιες ήταν περίπου μονόδρομος. Το Σεπτέμβριο του 1985 μπήκα στο Μαθηματικό της Πάτρας. Εκεί ξεκίνησε μια άλλη σημαντική περίοδος της ζωής μου.
Το ακέραιο μέρος πραγματικού αριθμού ήταν γραμμένο στο βιβλίο της Ανάλυσης, το ένα από τα τρία βιβλία που είχαμε στα Μαθηματικά. Ο καθηγητής μας στο σχολείο, ο Αιμίλιος Βικάτος, είχε βάλει κάποιες ασκήσεις πάνω στο ακέραιο μέρος, αφού είχε διδάξει τις βασικές του ιδιότητες.
Εδώ και πολλά χρόνια τέτοια θέματα δεν διδάσκονται, θεωρούνται εξεζητημένα. Κρίμα...

Όριο με ακέραιο μέρος

Όριο με ακέραιο μέρος

Re: Όριο με ακέραιο μέρος

Re: Όριο με ακέραιο μέρος

Re: Όριο με ακέραιο μέρος

Μέλη σε σύνδεση