Τμηματικά γραμμική συνάρτηση χωρίς κλάδους

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #1

Δίνεται συνάρτηση $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ με γραφική παράσταση που απεικονίζεται στο επισυνημμένο σχήμα.

Να κατασκευαστεί ένας τύπος για την

ο οποίος θα πρέπει:

$\bullet$ να χρησιμοποιεί συναρτήσεις και πράξεις συναρτήσεων που υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο της Γ Λυκείου

$\bullet$ να είναι ενιαίος, δηλαδή να μην περιέχει κλάδους

ΔΙΕΥΚΡΙΝΙΣΗ

$\bullet$ Τα κίτρινα σημεία στη γραφική παράσταση έχουν ακέραιες συντεταγμένες

$\bullet$ Η C_f

αποτελείται από ευθύγραμμα τμήματα και ημιευθείες.

#2

$\displaystyle{ y=\dfrac {11}{4}|x+1|-3|x|+ \dfrac {6}{4}|x-1|-\dfrac {1}{4}x-\dfrac {5}{4} }$

Πώς;

Πρώτα γράφουμε την δοθείσα ως κλαδική στα διαστήματα $(-\infty, -1), (-1,0),(0,1),(1,+\infty)$ . Κατόπιν γράφουμε έναν γραμμικό συνδυασμό των $\displaystyle{ y=A|x+1|+B|x|+ C|x-1|+Dx+E }$ και εξισώνουμε τις δύο παραστάσεις στα παραπάνω διαστήματα. Προκύπτει ένα μεγάλο γραμμικό σύστημα το οποίο έλυσα με λογισμικό (καθώς είναι απλό μεν, αλλά επίπονο για να γίνει με το χέρι). Τέλος έλεγξα με λογισμικό την παραπάνω παράσταση που βρήκα. Φαίνεται εντάξει.

Ιάσονα, έχεις κάποιον γρήγορο τρόπο;

ksofsa · #3

Καλησπέρα.

Μια προσέγγιση με maxima και minima (δεν είναι ολοκληρωμένη, θα επανέλθω σύντομα):

Οι ευθείες έστω ότι είναι (με τη σειρά) $h_{1}(x),h_{2}(x),h_{3}(x),h_{4}(x)$ .

Τότε το αριστερό μέρος του γραφήματος αντιπροσωπεύεται (σε ό,τι τετμημένη το αφορά) από το $g_{1}(x)=max\left\{ h_{1}(x),h_{2}(x) \right\}$ .

Όμοια, το δεξί μέρος από το $g_{2}(x)=max\left\{ h_{3}(x),h_{4}(x) \right\}$ .

Έτσι όπως είναι το σχήμα, το τελικό γράφημα είναι το $f(x)=min\left\{ g_{1}(x),g_{2}(x) \right\}$ .

Επειδή τα max, min εκφράζονται με απόλυτα, μπορούμε να βρούμε ενιαίο τύπο συμβατό με την Α' λυκείου.

Ελπίζω να μην έχω παραβλέψει κάτι, που να ανατρέπει την προσέγγιση (λόγω και του προχωρημένου της ώρας...). Θα επανέλθω, ούτως ή άλλως, για τις λεπτομέρειες.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #4

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Αύγ 19, 2024 9:55 pm $\displaystyle{ y=\dfrac {11}{4}|x+1|-3|x|+ \dfrac {6}{4}|x-1|-\dfrac {1}{4}x-\dfrac {5}{4} }$

Πώς;

Πρώτα γράφουμε την δοθείσα ως κλαδική στα διαστήματα $(-\infty, -1), (-1,0),(0,1),(1,+\infty)$ . Κατόπιν γράφουμε έναν γραμμικό συνδυασμό των $\displaystyle{ y=A|x+1|+B|x|+ C|x-1|+Dx+E }$ και εξισώνουμε τις δύο παραστάσεις στα παραπάνω διαστήματα. Προκύπτει ένα μεγάλο γραμμικό σύστημα το οποίο έλυσα με λογισμικό (καθώς είναι απλό μεν, αλλά επίπονο για να γίνει με το χέρι). Τέλος έλεγξα με λογισμικό την παραπάνω παράσταση που βρήκα. Φαίνεται εντάξει.

Ιάσονα, έχεις κάποιον γρήγορο τρόπο;

Χαίρετε,

όχι δεν έχω υπ' όψιν κάτι που να καθιστά ανώδυνο το υπολογιστικό μέρος.

Η άσκηση είχε ακριβώς ως στόχο αυτό που αναφέρετε και στη λύση σας,

την ανάδειξη της ιδέας ότι αν σε μια ευθεία f(x)=Dx+E

προσθέσουμε έναν όρο $A\cdot |x-x_1|$
η ευθεία "σπάει" στο σημείο με τετμημένη x_1

και αποκτά μια γωνία.

Οπότε για τρεις γωνίες σύνολο προσθέτουμε συνολικά τρεις τέτοιους όρους
που οδηγούν στο γραμμικό συνδυασμό που παραθέτετε

από τον οποίο θα προκύψει το $5\times5$ σύστημα $\{b_i=f(a_i)\}_{i=1,..,5}$
με αγνώστους τους συντελεστές του συνδυασμού.

Ιάσων Κωνσταντόπουλος · #5

(Eμπνευσμένος από την απάντηση του ksofsa)

θα μπορούσε κανείς να αποφύγει την επίλυση συστήματος "χτίζοντας" από αριστερά προς τα δεξιά τη ζητούμενη συνάρτηση:

$\bullet$ χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις
$r(x)=\dfrac{x+|x|}{2}$ και $\ell(x)=-r(-x)$
$\bullet$ πολλαπλασιάζοντας τις με τους τέσσερις συντελεστές διεύθυνσης που εμφανίζονται στη C_f

από αριστερά προς τα δεξιά: $-\dfrac{3}{2},+4,-2,+1$
$\bullet$ μετατοπίζοντας καταλλήλως παράλληλα με τους άξονες

Βήμα #1
$f_1(x)=-\dfrac{3}{2}\ell(x+1)-1$

: f_1.png (5.62 KiB) Προβλήθηκε 2219 φορές

Βήμα #2
f_2(x)=f_1(x)+4r(x+1)

: f_2.png (7.76 KiB) Προβλήθηκε 2219 φορές

Βήμα #3
f_3(x)=f_2(x)-4r(x)-2r(x)

(με τον δεύτερο όρο -4r(x)

"μηδενίζουμε" την ανοδική κλίση του δεύτερου τμήματος
και με τον τρίτο όρο δίνουμε την επιθυμητή καθοδική κλίση)

: f_3.png (9.62 KiB) Προβλήθηκε 2219 φορές

Βήμα #4
f_4(x)=f_3(x)+2r(x+1)+r(x+1)

: f_4.png (11.06 KiB) Προβλήθηκε 2219 φορές

ksofsa · #6

Καλημέρα.

Έχουν προηγηθεί ενδιαφέρουσες προσεγγίσεις!

Με το παρόν μήνυμα συμπληρώνω τις λεπτομέρειες του ποστ 3.

Είναι:

$h_{1}(x)=-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{5}{2}$

$h_{2}(x)=4x+3$

$h_{3}(x)=-2x+3$

$h_{4}(x)=x$

Τώρα, χρησιμοποιώντας τις σχέσεις $max\left\{ a,b \right\}=\dfrac{1}{2}(a+b+\left| a-b \right|),min\left\{ a,b \right\}=\dfrac{1}{2}(a+b-\left| a-b \right|)$ ,

μπορούμε να βρούμε τύπους με απόλυτα για τα $g_{1}(x),g_{2}(x),f(x)$ .

Σχόλιο: Ο τύπος για το f(x)

ως minimum τυχαίνει και ισχύει εδώ, γιατί τα δύο ''χωνιά'' (δεξί κι αριστερό) έχουν μόνο ένα σημείο τομής. Διαφορετικά, από μια τετμημένη και ύστερα (ή πριν) δε θα ίσχυε ο τύπος.

Τμηματικά γραμμική συνάρτηση χωρίς κλάδους

Τμηματικά γραμμική συνάρτηση χωρίς κλάδους

Re: Τμηματικά γραμμική συνάρτηση χωρίς κλάδους

Re: Τμηματικά γραμμική συνάρτηση χωρίς κλάδους

Re: Τμηματικά γραμμική συνάρτηση χωρίς κλάδους

Re: Τμηματικά γραμμική συνάρτηση χωρίς κλάδους

Re: Τμηματικά γραμμική συνάρτηση χωρίς κλάδους

Μέλη σε σύνδεση