Ένα όριο ... "βγαλμένο απ' τη ζωή"

#1

'Η μάλλον* ... "βγαλμένο απ' τη γεωμετρία": να βρεθεί το όριο, καθώς το

τείνει στο άπειρο, της παράστασης

\dfrac{\sqrt{d^2-1}}{2d^2}[\sqrt{1+d^2+2\sqrt{d^4-d^2+1}}+(d^2-1)\sqrt{1-2d^2+2\sqrt{d^4-d^2+1}}].

*ανατρέχοντας στην πηγή ... μπορείτε να το υπολογίσετε πιο γεωμετρικά

#2

gbaloglou έγραψε: Παρ Αύγ 14, 2026 8:02 pm 'Η μάλλον* ... "βγαλμένο απ' τη γεωμετρία": να βρεθεί το όριο, καθώς το τείνει στο άπειρο, της παράστασης
$\dfrac{\sqrt{d^2-1}}{2d^2}[\sqrt{1+d^2+2\sqrt{d^4-d^2+1}}+(d^2-1)\sqrt{1-2d^2+2\sqrt{d^4-d^2+1}}].$

.
Θα δείξουμε ότι (χωριστά) οι δύο προσθετέοι ικανοποιούν

α)

A= \dfrac{\sqrt{d^2-1}}{2d^2}\cdot \sqrt{1+d^2+2\sqrt{d^4-d^2+1}} \longrightarrow \dfrac {\sqrt 3}{2}

και

β)

B= \dfrac{\sqrt{d^2-1}}{2d^2} \cdot (d^2-1)\sqrt{1-2d^2+2\sqrt{d^4-d^2+1}} \longrightarrow \dfrac {\sqrt 3}{4}

Πράγματι

α)

A=\dfrac {1}{2} \dfrac{\sqrt{d^2-1}}{d}\cdot \dfrac {\sqrt{1+d^2+2\sqrt{d^4-d^2+1}}}{d}=\dfrac {1}{2} \sqrt{1-\dfrac {1}{d^2}} \sqrt{\dfrac {1}{d^2}+1+2\sqrt{1-\dfrac {1}{d^2}+\dfrac {1}{d^4}}} \longrightarrow

\longrightarrow \dfrac {1}{2} \sqrt{1-0} \sqrt{0+1+2\sqrt{1-0+0}}= \dfrac {\sqrt 3}{2}

και

β)

B= \dfrac {1}{2} \dfrac{\sqrt{d^2-1}}{d}\cdot \dfrac {d^2-1}{d} \cdot \dfrac {\sqrt{2\sqrt{d^4-d^2+1}+(1-2d^2)}\sqrt{2\sqrt{d^4-d^2+1}-(1-2d^2)}}{\sqrt{2\sqrt{d^4-d^2+1}-(1-2d^2)}}=

= \dfrac {1}{2} \dfrac{\sqrt{d^2-1}}{d}\cdot \dfrac {d^2-1}{d} \cdot \dfrac {\sqrt{4(d^4-d^2+1)-(1-2d^2)^2}}{\sqrt{2\sqrt{d^4-d^2+1}-(1-2d^2)}}=

= \dfrac {1}{2} \dfrac{\sqrt{d^2-1}}{d}\cdot \dfrac {d^2-1}{d} \cdot \dfrac { \sqrt 3}{\sqrt{2\sqrt{d^4-d^2+1}-(1-2d^2)}}=

= \dfrac {1}{2} \dfrac{\sqrt{d^2-1}}{d}\cdot \dfrac {d^2-1}{d^2} \cdot \dfrac { \sqrt 3}{\sqrt{2\sqrt{1-\dfrac {1}{d^2}+\dfrac {1}{d^4}}-\left (\dfrac {1}{d^2}-2\right )}} \longrightarrow

\longrightarrow \dfrac {1}{2} \cdot 1\cdot 1 \cdot \dfrac { \sqrt 3}{\sqrt{2\sqrt{1-0+0}-(0-2)}} =\dfrac {\sqrt 3}{4}

Οπότε, προσθέτοντας τα δύο προηγούμενα, το ζητούμενο όριο ισούται με

\boxed {\dfrac {3\sqrt 3}{4}}

#3

gbaloglou έγραψε: Παρ Αύγ 14, 2026 8:02 pm 'Η μάλλον* ... "βγαλμένο απ' τη γεωμετρία": να βρεθεί το όριο, καθώς το τείνει στο άπειρο, της παράστασης

$\dfrac{\sqrt{d^2-1}}{2d^2}[\sqrt{1+d^2+2\sqrt{d^4-d^2+1}}+(d^2-1)\sqrt{1-2d^2+2\sqrt{d^4-d^2+1}}].$

*ανατρέχοντας στην πηγή ... μπορείτε να το υπολογίσετε πιο γεωμετρικά

Πράγματι, επειδή η ανωτέρω ποσότητα είναι το μέγιστο εμβαδόν του εγγεγραμμένου στον μοναδιαίο κύκλο τριγώνου ABC,

όπου

το σημείο επαφής της εκ του

S=(d,0)

αγόμενης εφαπτομένης και SBC

η τυχούσα τέμνουσα τον κύκλο, συμπεραίνουμε ότι, καθώς το

τείνει στο άπειρο, το

τείνει στο (0,1),

η

τείνει να οριζοντιωθεί, το μέγιστο εμβαδόν τείνει προς το μέγιστο εμβαδόν ισοσκελούς τριγώνου εγγεγραμμένου στον μοναδιαίο κύκλο με κορυφή το (0,1),

το οποίο ως γνωστόν ισούται προς $\dfrac{3\sqrt{3}}{4}$ (ισόπλευρο), όπως υπολόγισε και ο Μιχάλης αλγεβρικά.

Ένα όριο ... "βγαλμένο απ' τη ζωή"

Ένα όριο ... "βγαλμένο απ' τη ζωή"

Re: Ένα όριο ... "βγαλμένο απ' τη ζωή"

Re: Ένα όριο ... "βγαλμένο απ' τη ζωή"

Μέλη σε σύνδεση