Απορία

jimperix · #1

Καλησπέρα.
Υπήρξε μια διαφωνία μεταξύ δυο καθηγητών για την παρακάτω άσκηση:

Έστω $f\left ( x \right )=1-x-lnx ,x> 0$ αν $f\left ( Df \right )=\mathbb{R}$ και f γνησίως φθίνουσα να λυθεί η ανίσωση
$f^{-1}\left ( x \right )> 1-x$

Καθηγητής 1: Μπορώ στα δύο μέλη της ανίσωσης να βάλω f αν $1-x\in Df$ . Μετά πρέπει να εξετάσω τι γίνεται για $x\geq 1$

Καθηγητής 2: Μπορώ στα δύο μέλη της ανίσωσης να βάλω f χωρίς περιορισμούς διότι οι δύο ανισώσεις που θα προκύψουν είναι ισοδύναμες

Ποια άποψη είναι ορθή;

dement · #2

Δεν είμαι σίγουρος τι εννοεί ο 2 όταν λέει ότι "οι ανισώσεις που θα προκύψουν είναι ισοδύναμες".

Για να εφαρμόσουμε τη συνάρτηση με τη μονοτονία πρέπει να είμαστε εκ των προτέρων βέβαιοι ότι και τα δύο μέλη της ανίσωσης ανήκουν στο πεδίο ορισμού, όπως υποστηρίζει ο 1.

Η αντίθετη περίπτωση καλύπτεται με την απλή παρατήρηση ότι $f^{-1} (x) > 0$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$ και έτσι η ανισότητα ισχύει αυτόματα για $1-x \leqslant 0$ .

Απορία

Απορία

Re: Απορία

Μέλη σε σύνδεση