Επανασύνθεση

KARKAR · #1

Η συνάρτηση $f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , είναι γνησίως αύξουσα και ικανοποιεί την :

$f(f(x))+f(x)=3x+2 , \forall x \in \mathbb{R}$ . Υπολογίστε τα $f^{-1}(1) , f(3)$

Πρέπει να απολογηθώ διότι πιθανότατα παίδεψα όσους ασχολήθηκαν ( όπως παιδεύτηκα κι εγώ ) .

Η άσκηση είναι παρμένη από ένα όμορφο φυλλάδιο του συναδέλφου Κώστα Νικολετόπουλου

( συγκεκριμένα η άσκηση 11 σελίδα 41 εδώ ) , όπου όμως μετά τις υποθέσεις , υπάρχει ένα και ... ,

το οποίο δεν είδα κι είπα να δημοσιεύσω την άσκηση με την ελπίδα να υπάρχει λύση με τα υπάρχοντα δεδομένα .

Λοιπόν αν δεν βρούμε το συγγραφέα ,ας προτείνουμε κάποια συμπλήρωση δεδομένων , ώστε να προκύπτει λύση...

#2

Μία συνάρτηση που ικανοποιεί τα, ελλιπή έστω, δεδομένα είναι η $\boxed{f(x) = \frac{{\sqrt {13} - 1}}{2}x + \sqrt {13} - 3}$

Δεν νομίζω όμως ότι ο συγγραφέας είχε αυτήν υπόψη του.

#3

Νομίζω ότι αυτό που λείπει είναι το $\boxed{f(1)=a}$ Επειδή όμως η συνάρτηση δίνεται γνησίως αύξουσα, το

δεν μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Χρειάζεται λοιπόν κάποια διερεύνηση.

● Αν a>1

τότε $\displaystyle{f(a) > f(1) = a}$
Αλλά, $\displaystyle{f(f(1)) + f(1) = 3 \cdot 1 + 2 = 5 \Leftrightarrow f(a) = 5 - a > a \Leftrightarrow a < \frac{5}{2}}.$ Οπότε, $\boxed{1<a<\frac{5}{2}}$

● Αν a<1

τότε $\displaystyle{f(a)< f(1) = a}.$ Αλλά, $\displaystyle{f(a) = 5 - a < a \Leftrightarrow a > \frac{5}{2}}$ που είναι άτοπο.

Εικάζω λοιπόν ότι ο συγγραφέας έχει δώσει $\boxed{f(1)=2}$

apotin · #4

george visvikis έγραψε: Εικάζω λοιπόν ότι ο συγγραφέας έχει δώσει $\boxed{f(1)=2}$

Έτσι πρέπει να είναι Γιώργο.
Βλέποντας και το βαθμό δυσκολίας της αρχικής άσκησης αυτό ενισχύεται.

Επανασύνθεση

Επανασύνθεση

Re: Επανασύνθεση

Re: Επανασύνθεση

Re: Επανασύνθεση

Μέλη σε σύνδεση