Όριο με αντίστροφη

#1

Δίνεται η συνάρτηση

με τύπο $\displaystyle f(x)=\ln x-\sqrt{e-x}$ .
Να βρείτε το $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,[({{e}^{x}}-x-1){{f}^{-1}}(x)]$ .

#2

exdx έγραψε: Παρ Σεπ 29, 2017 3:25 pm Δίνεται η συνάρτηση με τύπο $\displaystyle f(x)=\ln x-\sqrt{e-x}$ .
Να βρείτε το $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,[({{e}^{x}}-x-1){{f}^{-1}}(x)]$ .

Καλησπέρα!

Η

είναι ορισμένη και συνεχής στο (0,e]

και για κάθε $\displaystyle {x_1},{x_2} \in (0,e]$ με x_1<x_2

ισχύει:

$\displaystyle e - {x_1} > e - {x_2} \Rightarrow \sqrt {e - {x_1}} > \sqrt {e - {x_2}} \Rightarrow - \sqrt {e - {x_1}} < - \sqrt {e - {x_2}} \Rightarrow$

$\displaystyle \ln {x_1} - \sqrt {e - {x_1}} < \ln {x_2} - \sqrt {e - {x_2}} \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})$ Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή 1-1,

οπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση. Λόγω μονοτονίας το σύνολο τιμών της

είναι $\displaystyle (\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x),f(e)] = ( - \infty ,1]$

Επομένως η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα x_0

και είναι $\displaystyle f({x_0}) = 0 \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(0) = {x_0}$

Το ζητούμενο λοιπόν όριο γράφεται $\displaystyle {x_0}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({e^x} - x - 1) = 0$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Χρησιμοποιήθηκε η συνέχεια της αντιστρόφου.
Θα μπορούσαμε να μην την χρησιμοποιήσουμε κάνοντας το εξής.

Το πεδίο ορισμού της

είναι πεδίο τιμών της $f^{-1}$ .

Αρα $0< f^{-1}(x)\leq e$ .

Από το κριτήριο παρεμβολής εύκολα προκύπτει ότι το όριο είναι

kfd · #4

Με χρήση της ανισότητας $e^{x}>x+1$ για x κοντά στο 0.

Όριο με αντίστροφη

Όριο με αντίστροφη

Re: Όριο με αντίστροφη

Re: Όριο με αντίστροφη

Re: Όριο με αντίστροφη

Μέλη σε σύνδεση