Όριο με αντίστροφη

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Όριο με αντίστροφη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Παρ Σεπ 29, 2017 3:25 pm

Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο \displaystyle f(x)=\ln x-\sqrt{e-x}.
Να βρείτε το \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,[({{e}^{x}}-x-1){{f}^{-1}}(x)].


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 9795
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Όριο με αντίστροφη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Σεπ 29, 2017 5:13 pm

exdx έγραψε:
Παρ Σεπ 29, 2017 3:25 pm
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο \displaystyle f(x)=\ln x-\sqrt{e-x}.
Να βρείτε το \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,\,[({{e}^{x}}-x-1){{f}^{-1}}(x)].
Καλησπέρα!

Η f είναι ορισμένη και συνεχής στο (0,e] και για κάθε \displaystyle {x_1},{x_2} \in (0,e] με x_1<x_2 ισχύει:

\displaystyle e - {x_1} > e - {x_2} \Rightarrow \sqrt {e - {x_1}}  > \sqrt {e - {x_2}}  \Rightarrow  - \sqrt {e - {x_1}}  <  - \sqrt {e - {x_2}}  \Rightarrow

\displaystyle \ln {x_1} - \sqrt {e - {x_1}}  < \ln {x_2} - \sqrt {e - {x_2}}  \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2}) Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή 1-1,

οπότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση. Λόγω μονοτονίας το σύνολο τιμών της f είναι \displaystyle (\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x),f(e)] = ( - \infty ,1]

Επομένως η συνάρτηση έχει μοναδική ρίζα x_0 και είναι \displaystyle f({x_0}) = 0 \Leftrightarrow {f^{ - 1}}(0) = {x_0}

Το ζητούμενο λοιπόν όριο γράφεται \displaystyle {x_0}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ({e^x} - x - 1) = 0


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο με αντίστροφη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Σεπ 29, 2017 7:47 pm

Χρησιμοποιήθηκε η συνέχεια της αντιστρόφου.
Θα μπορούσαμε να μην την χρησιμοποιήσουμε κάνοντας το εξής.

Το πεδίο ορισμού της f είναι πεδίο τιμών της f^{-1}.

Αρα 0< f^{-1}(x)\leq e.

Από το κριτήριο παρεμβολής εύκολα προκύπτει ότι το όριο είναι 0


kfd
Δημοσιεύσεις: 121
Εγγραφή: Πέμ Ιουν 05, 2014 9:04 pm

Re: Όριο με αντίστροφη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kfd » Παρ Σεπ 29, 2017 9:17 pm

Με χρήση της ανισότητας e^{x}>x+1 για x κοντά στο 0.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες