Περί συναρτήσεων ο λόγος

Tolaso J Kos · #1

Βλέπαμε σήμερα με τα παιδιά τη παρακάτω άσκηση από το βιβλίο του Μαυρίδη ( Τόμος Α ) ... ! Τη προτείνω και εδώ.

Έστω δύο συναρτήσεις $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες είναι συνεχείς και τέτοιες ώστε:

$\displaystyle{g(x) = -f^2(x)+4f(x) + \kappa \quad \text{\gr όπου} \quad \kappa \in \mathbb{R} \quad \text{\gr και} \quad x \in \mathbb{R}}$

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα δειχθήτω ότι $\kappa<-4$ .
Αν και επιπλέον ισχύει η σχέση
$\displaystyle{f^2(0) + f^2(1) = 6f(0) - 9}$ αποδείξατε ότι:
1. και .
2. $g(x) \leq -1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$
3. η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο σε κάποιο σημείο $x_0 \in (0, 1)$ .

Edit: Διόρθωση τυπογραφικού στον εκθέτη. Είναι αντί για . Συγνώμη. Δημήητρη ευχαριστώ.

dement · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 9:36 pm
Έστω δύο συναρτήσεις $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες είναι συνεχείς και τέτοιες ώστε: $\displaystyle{g(x) = -f^3(x)+4f(x) + \kappa \quad \text{\gr όπου} \quad \kappa \in \mathbb{R} \quad \text{\gr και} \quad x \in \mathbb{R}}$

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα δειχθήτω ότι $\kappa<-4$ .

Μήπως μου ξεφεύγει κάτι; Αν η f(x) = 5

σταθερή, τότε η $g(x) = -105, \kappa = 0$ είναι σταθερή και κάτω από τον άξονα x'x

.

Tolaso J Kos · #3

dement έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 9:51 pm

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 9:36 pm
Έστω δύο συναρτήσεις $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες είναι συνεχείς και τέτοιες ώστε: $\displaystyle{g(x) = -f^3(x)+4f(x) + \kappa \quad \text{\gr όπου} \quad \kappa \in \mathbb{R} \quad \text{\gr και} \quad x \in \mathbb{R}}$

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα δειχθήτω ότι $\kappa<-4$ .

Μήπως μου ξεφεύγει κάτι; Αν η σταθερή, τότε η $g(x) = -105, \kappa = 0$ είναι σταθερή και κάτω από τον άξονα .

Όχι.. έχω κάνει τυπογραφικό... !!

#4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Νοέμ 06, 2017 9:36 pm
Βλέπαμε σήμερα με τα παιδιά τη παρακάτω άσκηση από το βιβλίο του Μαυρίδη ( Τόμος Α ) ... ! Τη προτείνω και εδώ.

Έστω δύο συναρτήσεις $f, g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ οι οποίες είναι συνεχείς και τέτοιες ώστε:

$\displaystyle{g(x) = -f^2(x)+4f(x) + \kappa \quad \text{\gr όπου} \quad \kappa \in \mathbb{R} \quad \text{\gr και} \quad x \in \mathbb{R}}$

Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης βρίσκεται κάτω από τον άξονα δειχθήτω ότι $\kappa<-4$ .

Αν $\kappa=-5$ και επιπλέον ισχύει η σχέση
$\displaystyle{f^2(0) + f^2(1) = 6f(0) - 9}$ αποδείξατε ότι:

και .

$g(x) \leq -1$ για κάθε $x \in \mathbb{R}$

η συνάρτηση παρουσιάζει ολικό μέγιστο σε κάποιο σημείο $x_0 \in (0, 1)$ .
Edit: Διόρθωση τυπογραφικού στον εκθέτη. Είναι αντί για . Συγνώμη. Δημήητρη ευχαριστώ.

ΛΥΣΗ

i) Είναι $g(x)<0\Leftrightarrow -{{f}^{2}}(x)+4f(x)+\kappa <0,\,\,\kappa \in \mathbb{R},\,\,\text{x}\in \mathbb{R}$

ισοδύναμα και $\kappa +4<{{f}^{2}}(x)-4f(x)+4={{(f(x)-2)}^{2}}\le 0$ επομένως $\kappa +4<0\Leftrightarrow \kappa <-4$

ii) α) Από ${{f}^{2}}(0)+{{f}^{2}}(1)=6f(0)-9\Leftrightarrow {{f}^{2}}(0)+{{f}^{2}}(1)-6f(0)+9=0\Leftrightarrow$

${{f}^{2}}(1)+{{(f(0)-3)}^{2}}=0\Leftrightarrow$ ${{f}^{2}}(1)=0$ και ${{(f(0)-3)}^{2}}=0$ ισοδύναμα f(0)=3

και

β) Από $g(x)=-{{f}^{2}}(x)+4f(x)-5,\,\,\text{x}\in \mathbb{R}$ έχουμε ότι

$-g(x)={{f}^{2}}(x)-4f(x)+5\Leftrightarrow -g(x)-1={{(f(x)-2)}^{2}}\ge 0,\,\,\text{x}\in \mathbb{R}$

οπότε και $-g(x)-1\ge 0\Leftrightarrow -g(x)\ge 1\Leftrightarrow g(x)\le -1,\,\,x\in R$

c) Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει $x_0 \in (0, 1)$ που να ισχύει $g({{x}_{0}})=-1$ .

Από $g(x)=-{{f}^{2}}(x)+4f(x)-5,\,\,\text{x}\in \mathbb{R}$ έχουμε $g(0)=-{{f}^{2}}(0)+4f(0)-5=-9+12-5=-2$

και $g(1)=-{{f}^{2}}(1)+4f(1)-5=-5$ ...και μετά

η κούραση κάτι δεν βλέπω...ο χορηγός θα μας πει...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

#5

KAKABASBASILEIOS έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 07, 2017 1:03 am
c) Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει $x_0 \in (0, 1)$ που να ισχύει $g({{x}_{0}})=-1$ .

Από το Θεώρημα των Ενδιάμεσων Τιμών, υπάρχει $x_0 \in (0, 1)$ τέτοιο, ώστε $f({{x}_{0}})=2$ , άρα και $\displaystyle g\left( {{x_0}} \right) = - 4 + 8 - 5 = - 1.$

Περί συναρτήσεων ο λόγος

Περί συναρτήσεων ο λόγος

Re: Περί συναρτήσεων ο λόγος

Re: Περί συναρτήσεων ο λόγος

Re: Περί συναρτήσεων ο λόγος

Re: Περί συναρτήσεων ο λόγος

Μέλη σε σύνδεση