Ερώτηση σε συναρτησιακή σχέση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

mathstudent03
Δημοσιεύσεις: 29
Εγγραφή: Δευ Δεκ 12, 2011 9:09 am

Ερώτηση σε συναρτησιακή σχέση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathstudent03 » Τρί Απρ 03, 2018 3:49 pm

Καλησπέρα,
Θα ήθελα να ρωτήσω αν μια λύση που δίνω σε άσκηση είναι σωστή.
Η άσκηση είναι η εξής:
Έστω συνάρτηση  f:R\rightarrow R η οποία ικανοποιεί τη σχέση f^{3}(x)+f(x)=x για κάθε x. Να αποδειχτεί ότι έχει σύνολο τιμών όλο το R.
Λύση
Έστω η συνάρτηση g:R\rightarrow R με g(x)=x^{3}+x. Εύκολα δείχνουμε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα 1-1 και έχει σύνολο τιμών το R. Άρα υπάρχει η g^{-1} με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R.
Το μόνο που έχω να κάνω τώρα είναι να δείξω ότι η f είναι η g^{-1}.
Είναι  g(f(x))=f^{3}(x)+f(x)=x=g(g^{-1}(x)). Και επειδή η g είναι 1-1 έπεται ότι f(x)=g^{-1}(x) και g(x)=f^{-1}(x)
Άρα για ότι θέλω να βρω για την f, ανατρέχω στην g^{-1}. Οπότε f(A)=R
Το πλεονέκτημα είναι ότι δεν ασχολούμαι καθόλου με τη δοσμένη συνάρτηση παρά μόνο με την αντίστροφή της που είναι πιο εύκολη στο χειρισμό. Το μόνο που έχω να κάνω είναι να δείξω τη σχέση τους ξεκινώντας από μια g και δείχνοντας ότι η τελευταία είναι αντίστροφή της δοσμένης.
Είναι όμως σωστό;



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ερώτηση σε συναρτησιακή σχέση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Απρ 03, 2018 8:04 pm

mathstudent03 έγραψε:
Τρί Απρ 03, 2018 3:49 pm
Καλησπέρα,
Θα ήθελα να ρωτήσω αν μια λύση που δίνω σε άσκηση είναι σωστή.
Η άσκηση είναι η εξής:
Έστω συνάρτηση  f:R\rightarrow R η οποία ικανοποιεί τη σχέση f^{3}(x)+f(x)=x για κάθε x. Να αποδειχτεί ότι έχει σύνολο τιμών όλο το R.
Λύση
Έστω η συνάρτηση g:R\rightarrow R με g(x)=x^{3}+x. Εύκολα δείχνουμε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα 1-1 και έχει σύνολο τιμών το R. Άρα υπάρχει η g^{-1} με πεδίο ορισμού το R και σύνολο τιμών το R.
Το μόνο που έχω να κάνω τώρα είναι να δείξω ότι η f είναι η g^{-1}.
Είναι  g(f(x))=f^{3}(x)+f(x)=x=g(g^{-1}(x)). Και επειδή η g είναι 1-1 έπεται ότι f(x)=g^{-1}(x) και g(x)=f^{-1}(x)
Άρα για ότι θέλω να βρω για την f, ανατρέχω στην g^{-1}. Οπότε f(A)=R
Το πλεονέκτημα είναι ότι δεν ασχολούμαι καθόλου με τη δοσμένη συνάρτηση παρά μόνο με την αντίστροφή της που είναι πιο εύκολη στο χειρισμό. Το μόνο που έχω να κάνω είναι να δείξω τη σχέση τους ξεκινώντας από μια g και δείχνοντας ότι η τελευταία είναι αντίστροφή της δοσμένης.
Είναι όμως σωστό;
Σωστότατο και πολύ ωραία και αναλυτικά γραμμένο.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης