Ταυτοτική

Tolaso J Kos · #1

Η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ είναι γνήσια αύξουσα και ισχύει η σχέση

$\displaystyle{\left ( f\circ f\circ f\circ f\circ f \right )(x)=x \quad \text{\grγια κάθε} \; x \in \mathbb{R}}$
Να δειχθεί ότι η

είναι η ταυτοτική.

Θαρρώ κάπου την έχουμε δει αλλά δε θυμάμαι πού...

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Tolaso J Kos έγραψε: Δευ Οκτ 28, 2019 11:24 am Η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ είναι γνήσια αύξουσα και ισχύει η σχέση

$\displaystyle{\left ( f\circ f\circ f\circ f\circ f \right )(x)=x \quad \text{\grγια κάθε} \; x \in \mathbb{R}}$
Να δειχθεί ότι η είναι η ταυτοτική.

Θαρρώ κάπου την έχουμε δει αλλά δε θυμάμαι πού...

Τόλη γεια χαρά! Γιατί τόσες λίγες

; Βάλε λίγες ακόμα...

Αν $f(x_0)\neq x_0$ για κάποιο x_0

, ας πούμε f(x_0)< x_0

, τότε

$f(x_0)< x_0\Rightarrow f^2(x_0)< f(x_0)<x_0$

$\Rightarrow f^3(x_0)< f^2(x_0)<f(x_0)<x_0$

$\Rightarrow f^4(x_0)< f^3(x_0)< f^2(x_0)<f(x_0)<x_0$

$\Rightarrow f^5(x_0)<f^4(x_0)< f^3(x_0)< f^2(x_0)<f(x_0)<x_0$ (άτοπο).

Όμοια αν υποθέσουμε f(x_0)> x_0

.

Ταυτοτική

Ταυτοτική

Re: Ταυτοτική

Μέλη σε σύνδεση