Θέση ακροτάτου

KARKAR · #1

Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού

, βρείτε όλες τις θέσεις

των ακροτάτων της συνάρτησης : f(x)=| 2ax-a-|ax-2a||

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 27, 2020 10:12 pm Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού , βρείτε όλες τις θέσεις

των ακροτάτων της συνάρτησης :

...Καλησπέρα

...δεν ξέρω αν θέλει αυτό το Θανάσης...

Αν a<0

τότε $f(x)=|2ax-a-|a(x-2)||=\left| 2\alpha x-a-\left| a \right|\left| x-2 \right| \right|=\left| 2\alpha x-a+a\left| x-2 \right| \right|\ge 0,\,x\in R$

και επειδή $f(-1)=\left| -2\alpha -a+3a \right|=0$ είναι $f(x)\ge f(-1),\,\,x\in R$

Αν a>0

τότε $f(x)=|2ax-a-|a(x-2)||=\left| 2\alpha x-a-\left| a \right|\left| x-2 \right| \right|=\left| 2\alpha x-a-a\left| x-2 \right| \right|\ge 0,\,x\in R$

και επειδή $f(1)=\left| 2\alpha -a-a \right|=0$ είναι $f(x)\ge f(1),\,\,x\in R$

Αν a=0

τότε $f(x)=0,\,\,x\in R$ και επομένως οι θέσεις ακροτάτων είναι το

και το

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #3

Εάν δινόταν η πληροφορία ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ , τότε εφαρμόζοντας το θεώρημα Fermat θα ίσχυε

f'(-1)=0

και

αντίστοιχα. Άρα, θα βρίσκαμε τις τιμές του α. Αλλά, επειδή δεν ζητά τις τιμές του α και δεν λέει ότι είναι παραγωγίσιμη, ισχύει
αυτό που είπατε.

#4

Καλημέρα σε όλους. Στο ίδιο πνεύμα με τον Βασίλη. Δεν βλέπω τι άλλο θα μπορούσε να ζητά ο Θανάσης.

Aν a=0

,

, σταθερή.

Aν $a \ne0$ , είναι $f(x) \ge 0$ με το ίσον όταν $2ax - a = \left| {ax - 2a} \right| : S$ .

$S \Rightarrow 3{a^2}{x^2} - 3{a^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\;\; \vee x = - 1$ .

Για x=1

η

αληθεύει όταν a>0

.

Για

η

αληθεύει όταν a<0

.

#5

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 27, 2020 10:12 pm Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού , βρείτε όλες τις θέσεις

των ακροτάτων της συνάρτησης :

Γιώργος Ρίζος έγραψε: Σάβ Νοέμ 28, 2020 9:34 am Καλημέρα σε όλους. Στο ίδιο πνεύμα με τον Βασίλη. Δεν βλέπω τι άλλο θα μπορούσε να ζητά ο Θανάσης.

Aν , , σταθερή.

Aν $a \ne0$ , είναι $f(x) \ge 0$ με το ίσον όταν $2ax - a = \left| {ax - 2a} \right| : S$ .

$S \Rightarrow 3{a^2}{x^2} - 3{a^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1\;\; \vee x = - 1$ .

Για η αληθεύει όταν .

Για η αληθεύει όταν .

Γιώργο καλημέρα από Γρεβενά...

Προσθέτω ένα σχήμα και ένα δυναμικό αρχείο για μια

πιο παραστατική απεικόνιση του όλου δρώμενου.

: Ακρότατα 1.png (14.56 KiB) Προβλήθηκε 1280 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται και ο γ.τόπος στον οποίο ανήκει και το δεύτερο

γωνιακό σημείο της συνάρτησης αυτής.

Αναρτώ και το αντίστοιχο δυναμικό αρχείο.

Ακρότατα 1.ggb: (13.21 KiB) Μεταφορτώθηκε 47 φορές

Ακόμα:
Ευχαριστώ το Θανάση για την παρατήρηση του "ημαρτημένου" μου το οποίο και διόρθωσα αμέσως...

Κώστας Δόρτσιος

#6

Eυχαριστώ τον Κώστα για τη συμπλήρωση. Πράγματι, τα τελευταία χρόνια όταν ζητάμε ακρότατα (σε ασκήσεις στο σχολικό βιβλίο, αλλά και στις εξετάσεις), αναφερόμαστε στα τοπικά. Παλαιότερα δεν συνέβαινε αυτό.

Συμπληρώνω τη μελέτη του θέματος:

Αν a>0

, τότε $f(x) = a\left| {2x - 1 - \left| {x - 2} \right|} \right| = \left\{ \begin{array}{l} \;\,a\left( {x + 1} \right),\;\;x \ge 2\\ 3a\left( {x - 1} \right),\;\;1 \le x < 2\\ \,\;\,3a\left( { - x} \right),\;\;x < 1 \end{array} \right.$

Η

ορίζεται στο

. Πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων τα κρίσιμα σημεία της.

Είναι συνεχής στο

και δεν παραγωγίζεται στα x = 1

και

. (Είναι απλή η διερεύνηση).

Επειδή $\displaystyle f'\left( x \right) = - 3a < 0\;\forall x \in \left( {0,1} \right)\;\;\; \wedge \;\;f'\left( x \right) = 3a > 0\;\;\forall x \in \left( {1,2} \right)$ έχει ελάχιστο για x = 1

.

Επειδή $\displaystyle f'\left( x \right) = 3a > 0\;\forall x \in \left( {1,2} \right)\;\;\; \wedge \;\;f'\left( x \right) = a > 0\;\;\forall x \in \left( {2, + \infty } \right)$ δεν έχει ακρότατο για x = 2

.

Το ελάχιστο στο x=1

είναι ολικό.

Αν a<0

, τότε $\displaystyle f(x) = - a\left| {2x - 1 + \left| {x - 2} \right|} \right| = \left\{ \begin{array}{l} - a\left( {3x - 3} \right),\;\;x \ge 2\\ \; - a\left( {x + 1} \right),\; - 1 \le \;x < 2\\ \;\;\;\;a\left( {x + 1} \right),\;\;x < 1 \end{array} \right.$

Με αντίστοιχη διαδικασία βρίσκουμε ότι έχει ολικό ελάχιστο για x=-1

.

Θέση ακροτάτου

Θέση ακροτάτου

Re: Θέση ακροτάτου

Re: Θέση ακροτάτου

Re: Θέση ακροτάτου

Re: Θέση ακροτάτου

Re: Θέση ακροτάτου

Μέλη σε σύνδεση