Ίσα τμήματα

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση $f(x) = \frac{1}{x} \; , \; x \neq 0$ .

Να δειχθεί ότι η είναι .
Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και να εξεταστεί αν είναι γνησίως μονότονη.
Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{f \left ( \sqrt{1 - \ln x} \right )= \frac{1}{2}}$ .
Αν μία ευθεία $(\varepsilon)$ τέμνει τη $\mathcal{C}_f$ στα σημεία $\mathrm{A}$ , $\Delta$ και τους άξονες στα σημεία $\mathrm{B} , \Gamma$ τότε να δειχθεί ότι $\mathrm{AB} = \Gamma \Delta$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Οκτ 10, 2021 11:48 pm Δίδεται η συνάρτηση $f(x) = \frac{1}{x} \; , \; x \neq 0$ .

Να δειχθεί ότι η είναι .

Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και να εξεταστεί αν είναι γνησίως μονότονη.

Να λυθεί η εξίσωση $\displaystyle{f \left ( \sqrt{1 - \ln x} \right )= \frac{1}{2}}$ .

Αν μία ευθεία $(\varepsilon)$ τέμνει τη $\mathcal{C}_f$ στα σημεία $\mathrm{A}$ , $\Delta$ και τους άξονες στα σημεία $\mathrm{B} , \Gamma$ τότε να δειχθεί ότι $\mathrm{AB} = \Gamma \Delta$ .

Ι) $\displaystyle f({x_1}) = f({x_2}) \Rightarrow \frac{1}{{{x_1}}} = \frac{1}{{{x_2}}} \Leftrightarrow {x_1} = {x_2}$ άρα η

είναι

II) Αν $\displaystyle 0 < {x_1} < {x_2} \Rightarrow \frac{1}{{{x_1}}} > \frac{1}{{{x_2}}},$ οπότε η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(0, +\infty).$ Ομοίως είναι γνησίως φθίνουσα

και στο $(-\infty, 0),$ αλλά δεν είναι μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Πράγματι, αν $\displaystyle {x_1} < 0 < {x_2} \Rightarrow \frac{1}{{{x_1}}} < \frac{1}{{{x_2}}}$

ΙΙΙ) $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt {1 - \ln x} }} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 1 - \ln x = 4 \Leftrightarrow \ln x = - 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{x = \frac{1}{{{e^3}}}}$

IV) Οι ευθείες που είναι παράλληλες στους άξονες δεν ικανοποιούν τις προϋποθέσεις της εκφώνησης. Έστω λοιπόν μία ευθεία $\displaystyle y = ax + b,$ που τέμνει τον y'y

στο

τον

στο $C(-\dfrac{b}{a},0)$ και τη γραφική παράσταση της συνάρτησης στα $A(x_1, \dfrac{1}{x_1}), D(x_2, \dfrac{1}{x_2})$ όπως φαίνεται στο σχήμα.

: TL.png (8.28 KiB) Προβλήθηκε 983 φορές

Είναι $\displaystyle ax + b = \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow a{x^2} + bx - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\ \\ {x_1}{x_2} = - \dfrac{1}{a} \end{array} \right.$

$\displaystyle \overrightarrow {BA} = \left( {{x_1},\frac{1}{{{x_1}}} - b} \right) = \left( { - \frac{b}{a} - {x_2}, - \frac{1}{{{x_2}}}} \right) = \overrightarrow {DC}$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

KARKAR · #3

Μπορεί κανείς να υποθέσει , ότι η άσκηση "κατασκευάστηκε" για το τελευταίο ερώτημα , το οποίο

όντως εντοπίζει μια όμορφη ιδιότητα της συνάρτησης , κάτι που προσωπικά βλέπω πρώτη φορά

nickchalkida · #4

Να παρατηρήσω για το τέταρτο ερώτημα, είναι η πρόταση 2.16 των Κωνικών.
Είναι μία γενική ιδιότητα της υπερβολής και των ασυμπτώτων της.
Η απόδειξη απλἠ, αλλά δυστυχώς βασίζεται σε προηγούμενες προτάσεις. Σύμφωνα με αυτήν

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & AC \cdot AB = OE^2 \cr & BD \cdot CD = OF^2 \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow AB = CD }$

(Βέβαια θα μπορούσαμε να το αποδείξουμε και με ομοιότητες, αλλά η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη)

Ίσα τμήματα

Ίσα τμήματα

Re: Ίσα τμήματα

Re: Ίσα τμήματα

Re: Ίσα τμήματα

Μέλη σε σύνδεση