Υπαρξιακό χωρίς συνέχεια

Christos.N · #1

Ας δούμε το επόμενο.

Δίνεται η συνάρτηση

με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το [-1,1]

.

Να δείξετε ότι υπάρχουν $x_1,x_2\in[-1,1]$ τέτοια ώστε f(x_1)+f(x_2)=x_1-x_2

sov_arvyd · #2

Christos.N έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 1:36 pm Ας δούμε το επόμενο.

Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το .

Να δείξετε ότι υπάρχουν $x_1,x_2\in[-1,1]$ τέτοια ώστε

Αφού το

είναι το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της

, υπάρχει $\xi \in [-1,1]$ ρίζα της

. Η σχέση ικανοποιείται για $x_1=x_2=\xi$ .

Christos.N · #3

sov_arvyd έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 2:28 pm
Christos.N έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 1:36 pm Ας δούμε το επόμενο.

Δίνεται η συνάρτηση με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το .

Να δείξετε ότι υπάρχουν $x_1,x_2\in[-1,1]$ τέτοια ώστε
Αφού το είναι το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της , υπάρχει $\xi \in [-1,1]$ ρίζα της . Η σχέση ικανοποιείται για $x_1=x_2=\xi$ .

Πράγματι, να τολμήσω να ζητήσω διακεκριμένα;

#4

ΣΥΓΝΩΜΗ Λαθος

Christos.N · #5

R BORIS έγραψε: Τρί Δεκ 14, 2021 6:24 pm Υπάρχουν $\displaystyle{a,b}$ στο $\displaystyle{[-1,1]:f(a)=1,f(b)=-1}$ μια που το σύνολο τιμών είναι το $\displaystyle{[-1,1]}$
άρα
$\displaystyle{f(a)+f(b)=0=f(c)}$ αφου το σύνολο τιμών είναι το $\displaystyle{[-1,1]}$
οπότε
Αν θεσουμε $\displaystyle{a+f(c)/2=d, b-f(c)/2=d}$
παιρνουμε
$\displaystyle{a-b=f(c)=f(a)+f(b)}$

ωραία σκέψη αλλά Ροδόλφε είναι σαν να λέμε $\displaystyle{a= b=d}$ καθώς $\displaystyle{f(c)/2=0}$

#6

μια ακόμη πρσπάθεια
Θετω $\displaystyle{a-b=x}$
θελω να υπάρχει $\displaystyle{\xi:f(b+\xi )=\xi-f(b)}$

παρατηρω οτι η $\displaystyle{x-f(b)}$ παριστάνει μια δέσμη // ευθειων με κλιση 45^0 και η κάθε ευθεία τέμνει τον αξονα των y στο $\displaystyle{-f(b)}$

H $\displaystyle{C_{f(b+x)}}$ μετατοπίζει την $\displaystyle{C_f}$ που βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο τετράγωνο με κορυφές τα σημεία $\displaystyle{(1,1),(1,-1),(-1,-1),(-1,1)}$ δεξια η αριστερα κατά $\displaystyle{b}$

ετσι η δεσμη καλυπτει την επιφανεια του τετραγωνου με συνεπεια να τεμνει την $\displaystyle{C_{f(b+x)}}$ τουλαχιστον σε ενα σημειο

Αρα υπαρχει $\displaystyle{a:f(b+a-b)=a-b-f(b)}$ η $\displaystyle{a-b=f(b)+f(a)}$

sov_arvyd · #7

R BORIS έγραψε: Πέμ Δεκ 16, 2021 4:24 pm μια ακόμη πρσπάθεια
Θετω $\displaystyle{a-b=x}$
θελω να υπάρχει $\displaystyle{\xi:f(b+\xi )=\xi-f(b)}$

παρατηρω οτι η $\displaystyle{x-f(b)}$ παριστάνει μια δέσμη // ευθειων με κλιση 45^0 και η κάθε ευθεία τέμνει τον αξονα των y στο $\displaystyle{-f(b)}$

H $\displaystyle{C_{f(b+x)}}$ μετατοπίζει την $\displaystyle{C_f}$ που βρίσκεται εξ ολοκλήρου στο τετράγωνο με κορυφές τα σημεία $\displaystyle{(1,1),(1,-1),(-1,-1),(-1,1)}$ δεξια η αριστερα κατά $\displaystyle{b}$

ετσι η δεσμη καλυπτει την επιφανεια του τετραγωνου με συνεπεια να τεμνει την $\displaystyle{C_{f(b+x)}}$ τουλαχιστον σε ενα σημειο

Αρα υπαρχει $\displaystyle{a:f(b+a-b)=a-b-f(b)}$ η $\displaystyle{a-b=f(b)+f(a)}$

Νομίζω πως το χρωματισμένο δεν αρκεί για να φτάσουμε στο συμπέρασμα.

Δεν αρκεί δηλαδή να βρούμε ένα $b\in[-1,1]$ τέτοιο ώστε η $\displaystyle{C_{f(b+x)}}$ απλώς να έχει κοινό σημείο με τη δέσμη ευθειών.

Θα θέλαμε επιπλέον το

να είναι τέτοιο ώστε η $\displaystyle{C_{f(b+x)}}$ να έχει κοινό σημείο με την "αντίστοιχη" στο

ευθεία: την $(\epsilon):y=x-f(b)$ , ώστε να καταλήξουμε σε αυτό το συμπέρασμα.

#8

εχεις δικιο
δεν βλεπω ομως πως θα προχωρήσω

Υπαρξιακό χωρίς συνέχεια

Υπαρξιακό χωρίς συνέχεια

Re: Υπαρξιακό χωρίς συνέχεια

Re: Υπαρξιακό χωρίς συνέχεια

Re: Υπαρξιακό χωρίς συνέχεια

Re: Υπαρξιακό χωρίς συνέχεια

Re: Υπαρξιακό χωρίς συνέχεια

Re: Υπαρξιακό χωρίς συνέχεια

Re: Υπαρξιακό χωρίς συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση