Συναρτησιακή με γεωμετρική πρόοδο

#1

Mία συνάρτηση $f:(0,\, \infty) \longrightarrow \mathbb R$ είναι συνεχής στο

και για κάθε a>0

ικανοποιεί την σχέση f(a)+f(a^2)+f(a^4) = 1

.

Να βρεθεί η

.

#2

Για

παίρνουμε $f(1)=\dfrac{1}{3}$ . Θα αποδείξουμε ότι $f(x)=\dfrac{1}{3}$ , για κάθε x>0

.

Θέτουμε όπου

το

και από τη σχέση που προκύπτει αφαιρούμε την αρχική και παίρνουμε f(a)=f(a^8)

για κάθε

ή ισοδύναμα ότι $f(a)=f\left(a^{\frac{1}{8}\right)$ για κάθε a>0

. Έτσι, βάζοντας διαδοχικά όπου

το

, το $x^{\frac{1}{8}}$ , το $x^{\frac{1}{8^2}}$ , ... , το $x^{\frac{1}{8^n}}$ για

φυσικό, παίρνουμε:

Έτσι $f(x)=f\left(x^{\frac{1}{8}}\right)=f\left(x^{\frac{1}{8^2}}\right)=\ldots = f\left(x^{\frac{1}{8^n}}\right)$ για κάθε

φυσικό.

Θεωρούμε τώρα $0<x\neq 1$ και αφήνουμε το

να πάει στο $\infty$ . Άρα έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle\lim_{n\to \infty} f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty} f\left(x^{\frac{1}{8^n}}\right) \Leftrightarrow f(x)=\displaystyle\lim_{u\to 1}f(u) \Leftrightarrow f(x)=f(1) \Leftrightarrow f(x)=\dfrac{1}{3}$ διότι η

είναι συνεχής στο

.

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αλέξανδρος

#3

cretanman έγραψε: Σάβ Ιουν 11, 2022 11:28 am Για παίρνουμε $f(1)=\dfrac{1}{3}$ . Θα αποδείξουμε ότι $f(x)=\dfrac{1}{3}$ , για κάθε .

Θέτουμε όπου το και από τη σχέση που προκύπτει αφαιρούμε την αρχική και παίρνουμε για κάθε ή ισοδύναμα ότι $f(a)=f\left(a^{\frac{1}{8}\right)$ για κάθε . Έτσι, βάζοντας διαδοχικά όπου το , το $x^{\frac{1}{8}}$ , το $x^{\frac{1}{8^2}}$ , ... , το $x^{\frac{1}{8^n}}$ για φυσικό, παίρνουμε:

Έτσι $f(x)=f\left(x^{\frac{1}{8}}\right)=f\left(x^{\frac{1}{8^2}}\right)=\ldots = f\left(x^{\frac{1}{8^n}}\right)$ για κάθε φυσικό.

Θεωρούμε τώρα $0<x\neq 1$ και αφήνουμε το να πάει στο $\infty$ . Άρα έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle\lim_{n\to \infty} f(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty} f\left(x^{\frac{1}{8^n}}\right) \Leftrightarrow f(x)=\displaystyle\lim_{u\to 1}f(u) \Leftrightarrow f(x)=f(1) \Leftrightarrow f(x)=\dfrac{1}{3}$ διότι η είναι συνεχής στο .

Η απόδειξη ολοκληρώθηκε.

Αλέξανδρος

Συναρτησιακή με γεωμετρική πρόοδο

Συναρτησιακή με γεωμετρική πρόοδο

Re: Συναρτησιακή με γεωμετρική πρόοδο

Re: Συναρτησιακή με γεωμετρική πρόοδο

Μέλη σε σύνδεση