Συνάρτηση σε κύκλο

KARKAR · #1

: συνάρτηση.png (9.38 KiB) Προβλήθηκε 1684 φορές

$\bigstar$ Σε σημείο

, κύκλου

, σχεδιάζω εφαπτόμενο τμήμα

, μεταβλητού μήκους

.

Η άλλη εφαπτόμενη

, τέμνει την προέκταση της

στο σημείο

. Υπολογίστε το μήκος

του τμήματος

συναρτήσει των r , x

και λύστε την εξίσωση : $f(x)=\dfrac{x}{4}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Σεπ 01, 2024 5:37 am συνάρτηση.png $\bigstar$ Σε σημείο , κύκλου , σχεδιάζω εφαπτόμενο τμήμα , μεταβλητού μήκους .

Η άλλη εφαπτόμενη , τέμνει την προέκταση της στο σημείο . Υπολογίστε το μήκος

του τμήματος συναρτήσει των και λύστε την εξίσωση : $f(x)=\dfrac{x}{4}$ .

Από την ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $OSP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TKP$ έχω: $\dfrac{{OS}}{{TK}} = \dfrac{{SP}}{{KP}} \Rightarrow \dfrac{x}{r} = \dfrac{{x + f\left( x \right)}}{{KP}}\,\,\left( 1 \right)$ . Από το Π. Θ. στο $\vartriangle TKP$ : $K{P^2} = K{T^2} + T{P^2}$ .

Δηλαδή , $K{P^2} = {r^2} + {f^2}\left( x \right)\,\,\,\left( 2 \right)$ . Πάλι Π. Θ. στο $\vartriangle OSP$ : ${\left( {x + f\left( x \right)} \right)^2} = {x^2} + {\left( {x + KP} \right)^2}$ που μετά τις πράξεις και λόγω της $\left( 2 \right)$ δίδει:

$xf\left( x \right) = {r^2} + r\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {r^2}} \,\,\left( 3 \right)$

Από την άλλη μεριά από την $\left( 1 \right)$ και ύψωση στο τετράγωνο στα δύο μέλη έχω :

: Συνάρτηση σε κύκλο.png (14.56 KiB) Προβλήθηκε 1622 φορές

${\left( {xKP} \right)^2} = {r^2}{\left( {x + f\left( x \right)} \right)^2}$ πού λόγω πάλι της $\left( 2 \right)$ γίνεται : ${x^2}\left( {{r^2} + {f^2}\left( x \right)} \right) = {r^2}{\left( {x + f\left( x \right)} \right)^2} \Rightarrow {r^2} + {f^2}\left( x \right) = \dfrac{{{{\left( {r\left( {x + f\left( x \right)} \right)} \right)}^2}}}{{{x^2}}}$ που δίδει :

$\sqrt {{r^2} + {f^2}\left( x \right)} = \dfrac{{r\left( {x + f\left( x \right)} \right)}}{x}\,\,\,\left( 4 \right)$ . Αντικαθιστώ από την $\left( 4 \right)$ στην $\left( 3 \right)$ ( κι έτσι διαγράφεται το ριζικό) και προκύπτει :

$\boxed{f\left( x \right) = \dfrac{{2{r^2x}}}{{{x^2} - {r^2}}}}$ με 0 < r < x

. Η εξίσωση : $f\left( x \right) = \dfrac{x}{4}$ πολύ απλά δίδει : $\boxed{x = 3r}$ .

Θα ψάξω για ευκολότερη( από πλευράς πράξεων λύση ) αφού άλλωστε είναι άσκηση για μαθητές

Πράγματι με Θ. διχοτόμου στο $\vartriangle STA$ έχω : $\boxed{\frac{{x + f\left( x \right)}}{x} = \frac{{KA}}{r}} \Rightarrow r\left( {x + f\left( x \right)} \right) = xKA$ και αφού $K{A^2} = {r^2} + {f^2}\left( x \right)$ . Έτσι έχω ,

: Συνάρτηση σε κύκλο_new.png (18.31 KiB) Προβλήθηκε 1607 φορές

${r^2}{\left( {x + f\left( x \right)} \right)^2} = {x^2}\left( {{f^2}\left( x \right) + {r^2}} \right)$ απ’ όπου προκύπτει εύκολα ( αφού $f\left( x \right) > 0$ ) ότι : $\boxed{f\left( x \right) = \frac{{2{r^2}x}}{{{x^2} - {r^2}}}}$

Επί της ουσίας πρόκειται για ίδια λύση χωρίς να κάνω ταλαίπωρες πράξεις .( Μια διαγραφή που προκύπτει απλοποιεί τα πάντα )

KARKAR · #3

: Συνάρτηση σε κύκλο.png (18.24 KiB) Προβλήθηκε 1584 φορές

Ελαφρά παραλλαγή ( και μην πει κανείς κάτι κακό για τον τύπο : $\cos 2\theta=2\cos^2\theta-1$ ) :

$\dfrac{x}{x+f(x)}=\dfrac{2x^2}{x^2+r^2}-1$ , απ' όπου εύκολα προκύπτει : $f(x)=\dfrac{2r^2x}{x^2-r^2} , x>r$ .

Συνάρτηση σε κύκλο

Συνάρτηση σε κύκλο

Re: Συνάρτηση σε κύκλο

Re: Συνάρτηση σε κύκλο

Μέλη σε σύνδεση