Μέγιστα σε ημικύκλιο

#1

Σημείο $\displaystyle M$ κινείται επί του ημικυκλίου , διαμέτρου $\displaystyle AB$ , με $\displaystyle (AB)=4$ .
Έστω $\displaystyle K$ η προβολή του $\displaystyle M$ στην $\displaystyle AB$ . Βρείτε τη θέση του $\displaystyle M$ ώστε :
α) Να μεγιστοποιείται το άθροισμα $\displaystyle KM+KB$ .
β) Να μεγιστοποιείται το $\displaystyle (KMB)$ .
γ) Το $\displaystyle (KMB)$ να μεταβάλλεται πιο αργά .

Σταμ. Γλάρος · #2

exdx έγραψε: Πέμ Ιούλ 05, 2018 11:38 am Σημείο $\displaystyle M$ κινείται επί του ημικυκλίου , διαμέτρου $\displaystyle AB$ , με $\displaystyle (AB)=4$ .
Έστω $\displaystyle K$ η προβολή του $\displaystyle M$ στην $\displaystyle AB$ . Βρείτε τη θέση του $\displaystyle M$ ώστε :
α) Να μεγιστοποιείται το άθροισμα $\displaystyle KM+KB$ .
β) Να μεγιστοποιείται το $\displaystyle (KMB)$ .
γ) Το $\displaystyle (KMB)$ να μεταβάλλεται πιο αργά .

Καλησπέρα στο

και ιδιαιτέρως στον Γιώργη. Μια προσπάθεια...

: Μέγιστα σε ημικύκλιο.png (8.59 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές

α) Έστω

. Θεωρώ την συνάρτηση $f(x)=\sqrt{4-x^2}\,\,\,\,\,\,,x\in\left [ -2,2 \right ]$ .
Είναι (KM)+(KB)=f(x)+2-x =g(x)

.
Η

είναι παραγωγίσιμη με $g'(x)=-\dfrac{x+\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{4-x^2}}$ .
Ισχύει $g'(-\sqrt{2})$ . Με πινακάκι μονοτονίας εύκολα βρίσκουμε ότι η

παρουσιάζει στο $-\sqrt{2}$ , ολικό μέγιστο.
Συνεπώς η ζητούμενη θέση του σημείου

είναι $M\left ( -\sqrt{2} ,\sqrt{2}\right )$ .

β) Είναι $(KMB)= \dfrac{1}{2} f(x)(2-x)= h(x)$ .
Η

είναι παραγωγίσιμη με $h'(x)=\dfrac{x^2-x-2}{\sqrt{4-x^2}}$ .
Με πινακάκι μονοτονίας εύκολα βρίσκουμε ότι η

παρουσιάζει στο

, ολικό μέγιστο.
Συνεπώς η ζητούμενη θέση του σημείου

είναι $M\left (-1, \sqrt{3}\right )$ .

γ) Η

είναι παραγωγίσιμη με $h''(x)=\dfrac{x^2+2x-2}{(2+x)\sqrt{4-x^2}}$ .
Με πινακάκι μονοτονίας εύκολα βρίσκουμε ότι η

παρουσιάζει στο $\sqrt{3}-1$ , ολικό ελάχιστο.
Συνεπώς η ζητούμενη θέση του σημείου

είναι $M\left ( \sqrt{3}-1, \sqrt{ 2\sqrt{3}}\right )$ .

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Μέγιστα σε ημικύκλιο

Μέγιστα σε ημικύκλιο

Re: Μέγιστα σε ημικύκλιο

Μέλη σε σύνδεση