Βρείτε το γινόμενο

Al.Koutsouridis · #1

Η συνάρτηση $\displaystyle g\left ( x \right )=f \left (x \right )e^{-x}$ , όπου $\displaystyle f \left ( x\right )$ τριώνυμο δευτέρου βαθμού ικανοποιεί τις συνθήκες:

$\bullet$ $\quad$ Τα σημεία $\displaystyle \left ( 1, g\left ( 1 \right )\right )$ και $\displaystyle \left ( 4, g\left ( 4 \right )\right )$ είναι σημεία καμπής της $y=g\left ( x \right )$ .

$\bullet$ $\quad$ Το διάστημα των τιμών του

, για τις οποίες από το σημείο $\displaystyle \left ( 0, k \right )$ άγονται τρεις εφαπτομένες προς την $y=g\left ( x \right )$ , είναι -1 < k < 0

.

Ποια είναι η τιμή του γινομένου $g\left ( -2 \right ) \cdot g\left ( 4 \right )$ ;

Edit 21/04/19: Έγινε τροποποίση στην εκφώνηση της δεύτερης συνθήκης.

#2

Έστω $\,\,\,g(x)=(ax^2+bx+c)e^{-x},\,\,\, a \neq 0$

Αν υπολογίσουμε την δεύτερη παράγωγο και ζητήσουμε να μηδενίζεται για x=1

και

, θα βρούμε c=0, b=-a

, οπότε

$\,\,\,g(x)=a(x^2-x)e^{-x},\,\,\, a \neq 0$

Στην συνέχεια, η εφαπτομένη στην γραφική της παράσταση και το σημείο της (t,g(t))

έχει εξίσωση y-g(t)=g'(t)(x-t)

. Αυτή διέρχεται από το σημείο (0,k)

, αν και μόνο αν k-g(t)=-tg(t)

ή

$g(t)-tg'(t)=k,\,\,\,-1<k<0$

Μελετάμε κατά τα γνωστά την συνάρτηση $h(t)=g(t)-tg'(t)= ... =a(t^3-2t^2)e^{-t}$ και ζητάμε η εξίσωση $h(t)=k,\,\,\,-1<k<0$ να έχει, τουλάχιστον, τρεις λύσεις.

Τρεις λύσεις έχει όταν το

ανήκει στο ανοιχτό διάστημα με άκρα

και $\dfrac{-a}{e}$ . Σε καθεμία από τις λύσεις αυτές αντιστοιχεί διαφορετική εφαπτομένη. Περισσότερες από τρεις λύσεις δεν έχει. Επομένως η δεύτερη συνθήκη δίνει $\dfrac{-a}{e}-=-1$ άρα a=e

οπότε $\,\,\,g(x)=e(x^2-x)e^{-x}$ κ.λπ.

Al.Koutsouridis · #3

Να ευχαριστήσω τον κ.Ρεκούμη για την ενασχόληση του με το πρόβλημα. Η ερώτησή του με προσωπικό μήνυμα (αν είναι σωστή η εκφώνηση), με έκανε να επαναδιατυπώσω την δεύτερη συνθήκη πιο σωστά. Ζητώ την κατανόηση όσων προσπάθησαν να λύσουν το πρόβλημα προηγουμένως. Το πρόβλημα είναι από εισαγωγικές εξετάσεις της Κορέας για το 2014. Η μετάφραση είναι λίγο επίπονη και παραμικρή αλλαγή στη σειρά των λέξεων δίνει εντελώς άλλο νόημα, καθώς και η σύνταξη των προτάσεων.

Όσο αναφορά τα θέματα: ο μαθητής καλείται να δώσει μόνο την τελική απάντηση, αλλά από την δομή του προβλήματος, όπως φαίνεται και παραπάνω, πρέπει να περάσει από όλα τα στάδια της λύσης για να βρει το σωστό αριθμό. Τα θέματα άλλωστε είναι 30 και θα ήταν αδύνατο να τα γράψει κανείς τόσο γρήγορα. Αυτό που έχω παρατηρήσει είναι ότι τα θέματα της ανάλυσης στηρίζονται πολύ στην «δυναμικότητα», συναρτήσεις με παραμέτρους, όπου ζητούνται μέσο κατάλληλων συνθηκών ο μαθητής να ανακαλύψει το ρόλο των παραμέτρων και να φανταστεί πως επηρεάζουν την γραφική παράσταση αυτών ή άλλα στοιχεία συναρτώμενα με αυτές. Όπως εμβαδόν, εφαπτομένες κτλ. Παρατηρείτε μια τάση για εξέταση της απεικονιστικής, γεωμετρικής εγρήγορσης του μαθητή.

#4

Αλέξανδρε, εγώ πρέπει να σε ευχαριστήσω για τον κόπο σου και για τον χρόνο που διαθέτεις, ώστε να μεταφράζεις και να ανεβάζεις θέματα πραγματικά υψηλού επιπέδου!

Να είσαι πάντα καλά!

Καλό Πάσχα και καλή Ανάσταση!!

#5

Al.Koutsouridis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 12:09 pm
Να ευχαριστήσω τον κ.Ρεκούμη για την ενασχόληση του με το πρόβλημα. Η ερώτησή του με προσωπικό μήνυμα (αν είναι σωστή η εκφώνηση), με έκανε να επαναδιατυπώσω την δεύτερη συνθήκη πιο σωστά. Ζητώ την κατανόηση όσων προσπάθησαν να λύσουν το πρόβλημα προηγουμένως. Το πρόβλημα είναι από εισαγωγικές εξετάσεις της Κορέας για το 2014. Η μετάφραση είναι λίγο επίπονη και παραμικρή αλλαγή στη σειρά των λέξεων δίνει εντελώς άλλο νόημα, καθώς και η σύνταξη των προτάσεων.

Όσο αναφορά τα θέματα: ο μαθητής καλείται να δώσει μόνο την τελική απάντηση, αλλά από την δομή του προβλήματος, όπως φαίνεται και παραπάνω, πρέπει να περάσει από όλα τα στάδια της λύσης για να βρει το σωστό αριθμό. Τα θέματα άλλωστε είναι 30 και θα ήταν αδύνατο να τα γράψει κανείς τόσο γρήγορα. Αυτό που έχω παρατηρήσει είναι ότι τα θέματα της ανάλυσης στηρίζονται πολύ στην «δυναμικότητα», συναρτήσεις με παραμέτρους, όπου ζητούνται μέσο κατάλληλων συνθηκών ο μαθητής να ανακαλύψει το ρόλο των παραμέτρων και να φανταστεί πως επηρεάζουν την γραφική παράσταση αυτών ή άλλα στοιχεία συναρτώμενα με αυτές. Όπως εμβαδόν, εφαπτομένες κτλ. Παρατηρείτε μια τάση για εξέταση της απεικονιστικής, γεωμετρικής εγρήγορσης του μαθητή.

Θα έλεγα ότι ακόμη και το υποερώτημα "να προσδιορισθεί

τέτοιο ώστε η $a(t^3-2t^2)e^{-t}=k$ να έχει ακριβώς 3 λύσεις ακριβώς όταν -1<k<0

" είναι αρκετά δύσκολο από μόνο του (τοπικό μέγιστο ίσο προς

, τοπικό ελάχιστο ίσο προς

), πόσο μάλλον όταν υπάρχουν ... 29 άλλα θέματα! (ΧΡΟΝΟΣ;;;)

Al.Koutsouridis · #6

gbaloglou έγραψε: ↑
Δευ Απρ 22, 2019 6:36 pm

Θα έλεγα ότι ακόμη και το υποερώτημα "να προσδιορισθεί τέτοιο ώστε η $a(t^3-2t^2)e^{-t}=k$ να έχει ακριβώς 3 λύσεις ακριβώς όταν " είναι αρκετά δύσκολο από μόνο του (τοπικό μέγιστο ίσο προς , τοπικό ελάχιστο ίσο προς ), πόσο μάλλον όταν υπάρχουν ... 29 άλλα θέματα! (ΧΡΟΝΟΣ;;;)

Ο χρονός είναι κάτι λιγότερο από δυο ώρες, 110

λεπτά νομίζω. Δεν είναι εύκολο, εγώ προσωπικά δε θα έγγραφα καλά. Εδώ ξέχασα να λύσω ερώτημα στις πανελλήνιες

.

Ας κάνουμε όμως τον συνήγορο του κορεάτη θεματοδότη ως αναφορά τις πράξεις. Ουσιαστικά οι μόνες πράξεις που χρειάζονται, αν θέλουμε να προσεγγίσουμε το θέμα διαισθητικά, είναι να βρούμε την μορφή της συνάρτησης g(x)

και να καταστρώσουμε την εξίσωση/συνάρτηση για το

. Όσο αναφορά την δυσκολία της σύλληψης της ιδέας, ναι νομίζω δεν είναι απλό. Ίσως να υπάρχει και πιο σύντομη λύση. Δανείζομαι τα αποτελέσματα του κ.Κώστα παραπάνω. Είναι

$g(x) = a(x^2-x)e^{-x}$
$h(t)=g(t)-tg^{\prime}(t)=a(t^3-2t^2)e^{-t} = at^2(t-2)e^{-t} = a\dfrac{P(t)}{e^t}$

όπου P(t)

περιττού βαθμού πολυώνυμο με θετικό μεγιστοβάθμιο συντελεστή.

Προσπαθούμε να μαντέψουμε πως θα είναι περίπου η γραφική παράσταση της h(t)

. Παρατηρούμε έυκολα ότι έχει στο t=0

διπλή ρίζα (διατηρείται το πρόσημο γύρο από αυτή) και άλλη μια ρίζα στο t=2

.

Η παράγωγος της h(t)

είναι $h^{\prime}(t) = g^{\prime}(t) -g^{\prime}(t) -tg^{\prime \prime}(t) = -tg^{\prime \prime}(t)$ . Δηλαδή τα πιθανά ακρότατά της θα είναι στα σημεία t=0,t=1,t=4

.

Ας δούμε τι τιμές παίρνει η h(t)

στο $\pm \infty$ . Είναι $\displaystyle{\lim_{t\to +\infty} \dfrac{P(t)}{e^t} = 0}$ . Προσεγγίζει το μηδέν από τα θετικά. Η εκθετική συνάρτηση έχει μεγαλύτερο ρυθμό μεταβολής από οποιαδήποτε πολυωνυμική. Το θεωρώ εδώ γνωστό αποτέλεσμα. Επειδή το P(t)

περιττού βαθμού θα είναι $\displaystyle{\lim_{t\to -\infty} \dfrac{P(t)}{e^t} =-\infty}$ .

Αν τώρα a < 0

θα έχουμε $\displaystyle{\lim_{t\to -\infty} h(t) =+\infty}$ , $\displaystyle{\lim_{t\to +\infty} h(t) =0}$ από τα αρνητικά. Δηλαδή η συνάρτηση "κατεβαίνει" από συν άπειρο, αγγίζει τον άξονα των

στο

, διατηρεί το πρόσημο, τέμνει τον άξονα των

στο

και μετά τείνει στο μηδέν από τα αρνητικά. Δηλαδή το t=1

είναι τοπικό μέγιστο και το t=4

τοπικό ελάχιστο. Αν κάνουμε την γραφική παράσταση παρατηρούμε οτι καμία ευθεία y=k

, με

δεν τέμνει την h(t)

σε πάνω από δυο το πολύ σημεία. Άρα το

δεν μπορεί να είναι αρνητικό.

Αν a>0

τότε η συνάρτηση υπό μελέτη είναι ίδια με την παραπάνω απλά έχει ανακλαστεί ως προς άξονα

. Στην περίπτωση αυτή "ανεβαίνουμε" από το μειον άπειρο, αγγίζουμε τον άξονα των

διατηρείται το πρόσημο (αρνητικό), τοπικό ελάχιστο στο t=1

, τέμνει τον

στο

, τοπικό μέγιστο στο t=4

(θετικό) και τείνει στο μηδέν από τα θετικά. Αν κάνουμε την γραφική παράσταση παρατηρούμε ότι η τιμή της h(t)

στο τοπικό ελάχιστο, στο t=1

θα πρέπει να είναι

, για να ικανοποιείται η δεύτερη συνθήκη της εκφώνησης.

#7

Ναι, όλα οφείλονται στην $\left(a(t^3-2t^2)e^{-t}\right)'=-at(t-1)(t-4)e^{-t}$ -- αναρωτιέμαι πάντως, τι θα συνέβαινε αν κάτι 'ισοδύναμο' προς το παραπάνω υποερώτημα ... εμφανιζόταν 'ξαφνικά' στις Πανελλαδικές; Πολύ φοβάμαι ότι θα γινόταν ... της Κορέας!

[Μου άρεσε πολύ αυτό το "κάτι λιγότερο από δυο ώρες", που σημαίνει βέβαια κάτι λιγότερο από 4 λεπτά ανά θέμα: πόσα ερωτήματα περίπου απαντά σωστά ο πρώτος ή η πρώτη; (Δεν θα εκπλαγώ τρομερά αν μάθω ότι υπάρχουν και τριαντάρια, θα ήταν όμως απόλυτα εντυπωσιακό...)]

Τσιαλας Νικολαος · #8

Κύριε Γιώργο σε διαγωνισμούς μαθηματικών που ζητούν μόνο αποτέλεσμα και έχουν περιορισμένο χρόνο υπάρχουν παιδιά που γράφουν άριστα! Οπότε θα συμφωνήσω μαζι σας ότι πιθανότατα θα υπάρχουν παιδιά που έχουν αριστεύσει και σε αυτές τις εξετάσεις!

#9

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: ↑
Τρί Απρ 23, 2019 9:55 am
Κύριε Γιώργο σε διαγωνισμούς μαθηματικών που ζητούν μόνο αποτέλεσμα και έχουν περιορισμένο χρόνο υπάρχουν παιδιά που γράφουν άριστα! Οπότε θα συμφωνήσω μαζι σας ότι πιθανότατα θα υπάρχουν παιδιά που έχουν αριστεύσει και σε αυτές τις εξετάσεις!

Πάντως Νίκο ... εγώ ο 'αραχτός' ... θα χρειαζόμουν 4+ λεπτά για την ανάγνωση/κατανόηση του αρχικού ερωτήματος και μόνον

Al.Koutsouridis · #10

gbaloglou έγραψε: ↑
Τρί Απρ 23, 2019 9:46 am
[Μου άρεσε πολύ αυτό το "κάτι λιγότερο από δυο ώρες", που σημαίνει βέβαια κάτι λιγότερο από 4 λεπτά ανά θέμα: πόσα ερωτήματα περίπου απαντά σωστά ο πρώτος ή η πρώτη; (Δεν θα εκπλαγώ τρομερά αν μάθω ότι υπάρχουν και τριαντάρια, θα ήταν όμως απόλυτα εντυπωσιακό...)]

Συνοπτικά, κάποια παραπάνω στοιχεία για τις κορεατικές εισαγωγικές εξετάσεις (παρεμπιπτώντος δεν θυμόμουν καλά το χρόνο, είναι ακόμα ακόμα μικρότερος για τα μαθηματικά).

Οι κορεατικές εισαγωγικές, College Scholastic Ability Test (Διαγώνισμα ακαδημαϊκών δεξιοτήτων για τα πανεπιστήμια) αποτελείται από πέντε τομείς.
Κορεάτικη γλώσσα, Μαθηματικά, Ξένη γλώσσα (Αγγλικά), Θεωρητικές/Θετικές/Τεχνικές επιστήμες, Δεύτερη ξένη γλώσσα/Κινέζικα. Οι μαθητές έχουν την δυνατότητα να διαλέξουν ποιό τομέα θέλουν να δώσουν καθώς και ποιο τμήμα σε μερικούς τομείς. Στα μαθηματικά υπάρχουν δυο τμήματα τύπου Α και τύπου Β. Τα θέματα τύπου Α θα λέγαμε ότι είναι γενικής παιδείας (βασική ανάλυση, βασική στατιστική) και τα τύπου Β θετικής κατεύθυνσης. Τα τύπου Β περιέχουν για παράδειγμα στερεομετρία, διανύσματα στο χώρο, πιο προχωρημένη στατιστική και πιθανότητες, ολοκληρώματα. Ανάλογα το που θέλει να περάσει ο μαθητής, διαλέγει τύπου Α ή Β. Στο τομέα Θεωρητικές/Θετικές/Τεχνικές επιστήμες διαλέγουν το πολύ τρία τμήματα (μαθήματα).

Τον Ιούνιο και το Σεπτέμβριο διεξάγονται προπαρασκευαστικές εξετάσεις όπου ο μαθητής μπορεί να δει τον βαθμό της ετοιμότητάς του. Τα θέματα είναι ίδιας δυσκολίας με τα τελικά. Οι εισαγωγικές διεξάγονται τον Νοέμβριο την ίδια μέρα για όλους τους τομείς. Η δομή είναι όπως παρακάτω

Κορεατική γλώσσα. Σύνολο θεμάτων: 50 (6 listening). Χρόνος: 80 λεπτά

Αγγλική γλώσσα. Σύνολο θεμάτων: 50 (17 listening). Χρόνος: 70 λεπτά

Μαθηματικά:
- Τύπου Α. Σύνολο θεμάτων: 30: Χρόνος : 100 λεπτά
- Τύπου Β. Σύνολο θεμάτων: 30: Χρόνος : 100 λεπτά

Θεωρητικές/Θετικές/Τεχνικές επιστήμες. Σύνολο θεμάτων: 20 (το πολύ τρία μαθήματα). Χρόνος 30 λεπτά /μάθημα

Δεύτερη ξένη γλώσσα/Κινέζικα: Σύνολο θεμάτων: 30. Χρόνος: 40 λεπτά

Στα μαθηματικά τα 21 πρώτα θέματα είναι πολλαπλής επιλογής (ούτε αυτά είναι πολύ απλά) τα τελευταία 9 ανάπτυξης, θέλουν τελική απάντηση μόνο (φυσικός αριθμός από το 1 έως 1000). Η απαντήσεις δίνονται σε κόλλα OMR (οπτικής αναγνώρισης σημείων). Όλες οι παραπάνω εξετάσεις διεξάγονται την ίδια μέρα. Με έναρξη στις 8:40 και τέλος για το 5ο τομέα στις 18:05. Με μικρά διαλείμματα στο ενδιάμεσο.

Τα μόρια στα μαθηματικά κατανέμονται ως εξής: 3 θέματα των 2 μορίων, 14 θέματα των 3 μορίων και 13 θέματα των τεσσάρων μορίων. Σύνολο 100 μόρια. Τα αποτελέσματα κανονικοποιούνται με μέση τιμή 100 και τυπική απόκλιση 20. Κάπου είχα δει ότι το ποσοστά του τέλειου γραπτού είναι της τάξης του 0,3%. Αλλά δεν είμαι σίγουρος θα το ψάξω παραπάνω. Αν αναλογιστεί κανείς, ότι γράφουν περίπου 600.000 μαθητές, αυτό αντιστοιχεί σε πάνω από 1000 γραπτά.

Τα θέματα χωρίζονται σε τέσσερις διδακτικές ενότητες:

Υπολογιστικά

Κατανόησης/αντίληψης

Αιτιολόγησης:
- Επαγωγικής λογικής
- Παραγωγικής λογικής

Ικανότητα επίλυσης προβλημάτων:
- Ένδο-μαθηματική: Εύρεση της σχέσης μεταξύ μαθηματικών εννοιών (περισσότερο των δυο), κανόνων, αρχών σε ένα πρόβλημα και εφαρμογή τους στην λύση.
- Εξω-μαθηματική: Κατανόηση της πραγματικότητας ή άλλων περιπτώσεων που δίνονται σε ένα πρόβλημα και έκφραση του σε μαθηματική γλώσσα και εν τέλη λύση του

Λίγο πιο αναλυτικά το περιεχόμενο των μαθηματικών τύπου Α και Β.

Τύπου Α:
- Γενικά μαθηματικά: Πίνακες και πράξεις, δυνάμεις και λογάριθμοι, εκθετική και λογαριθμική συνάρτηση (συμπεριλαμβανομένου εξισώσεων και ανισώσεων), ακολουθίες και σειρές, όρια ακολουθιών σειρών.
- Βασική Ανάλυση και Στατιστική: Όριο και συνέχεια συνάρτησης, παραγώγιση και ολοκλήρωση πολυωνυμικών συναρτήσεων, πιθανότητες, στατιστική

Τύπου Β:
- Γενικά μαθηματικά: εξισώσεις (ρητές, άρρητες), ανισότητες (πολυωνυμικές, ρητές), τριγωνομετρικές συναρτήσεις, όριο και συνέχεια συναρτήσεων, παραγώγιση συναρτήσεων.
- Βασική Ανάλυση και Στατιστική: Ολοκλήρωση συναρτήσεων, μεταθέσεις και συνδιασμοί, πιθανότητες, στατιστική
- Γεωμετρία και διανύσματα: Απλοί γραμμικοί μετασχηματισμοί και πίνακες, δευτεροβάθμειες καμπύλες (παραβολή, έλλειψη, υπερβολή),συντεταγμένες και σχήματα στο χώρο, διανύσματα

Πηγές:
1. https://en.wikipedia.org/wiki/College_S ... ility_Test
2. Mathematics education in Korea. / Curricular and teaching and learning practices. Jinho Kim, Inki Han, Mangoo Park, Joong kwoen Lee (eds.) Series on mathematics education, v. 7, World Scientific.
3. https://www.southkoreaeducation.info/te ... korea.html
4. http://en.koreaportal.com/articles/5336 ... ficant.htm

#11

Με αυτή την ύλη που εξετάζονται, βλέπουμε ... την πλάτη τους!

Τσιαλας Νικολαος · #12

Πολύ "βίαιο" σύστημα για τα παιδιά θεωρώ... Διάβαζα πρόσφατα ότι οι μαθητές κοιμουντε κατά 5,5 ώρες την μέρα. Επίσης διάβασα ( δεν ξέρω αν ισχύει) ότι μόνο το 1% περνάει στα πανεπιστημία της χώρας. Επίσης πως στο καλό αντέχουν και δίνουν όλα τα μαθήματα σε μια μέρα?

Christos.N · #13

rek2 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 25, 2019 4:06 pm
Με αυτή την ύλη που εξετάζονται, βλέπουμε ... την πλάτη τους!

Κώστα καλό Πάσχα και χρόνια πολλά!!!

Τι να συγκρίνουμε, οικονομίες, βιομηχανία;
Τα μαθηματικά είναι συνυφασμένα με το οικονομικό-πολιτικό περιβάλλον που ανήκει μια κοινωνία. Αυτοί παράγουν και ακόμα παραπέρα πρωτοπορούν σε τεχνολογίες αιχμής , εδώ απλά καταναλώνουμε.....ακόμα και τίτλους σπουδών.

Βρείτε το γινόμενο

Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Re: Βρείτε το γινόμενο

Μέλη σε σύνδεση