Σ-Λ

dopfev · #1

Πρόταση: 'Αν f'(x)f(x)=0

τότε

'.
Αυτή η πρόταση είναι λάθος έτσι δεν είναι; Μπορούμε να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα; Ευχαριστώ για το χρόνο σας!

#2

dopfev έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 8:07 pm Πρόταση: 'Αν τότε '.
Αυτή η πρόταση είναι λάθος έτσι δεν είναι; Μπορούμε να βρούμε ένα αντιπαράδειγμα; Ευχαριστώ για το χρόνο σας!

Καλησπέρα !

Γράψε μας ακριβώς την ερώτηση, όπως την βρήκες ή την σκέφτηκες, για να τη σκεφτούμε καλύτερα.Λείπει πεδίο ορισμού, ποσοδείκτες κλπ.

Αν για παράδειγμα έχουμε πεδίο ορισμού όλη την πραγματική ευθεία και καθολικό ποσοδείκτη, η πρόταση δείχνει να είναι σωστή, αφού η συνάρτηση θα είναι σταθερή.
Αν όμως έχεις τυχαία συνάρτηση και κάποιο χ, τότε είναι λάθος, αφού πχ μπορεί η συνάρτηση να μηδενίζεται στο σημείο και η παράγωγος όχι( f(x)=x, f(0)=0, f'(0)=1

)

dopfev · #3

Καλησπέρα, δική μου σκέψη. Υπάρχει αντιπαράδειγμα που να αναιρεί αυτήν την πρόταση; Με οποιοδήποτε πεδίο ορισμού... Δηλαδή υπάρχει συνάρτηση όπου το γινόμενο με την παράγωγό της να είναι μηδέν αλλά καμία να μην είναι μηδέν;

panagiotis iliopoulos · #4

Πιστεύω ότι η πρόταση αυτή ανάγεται σε μία γενικότερη: Αν για δύο συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
ισχύει f(x)g(x)=0

,

τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι f(x)=0

για κάθε $x\epsilon \mathbb{R}$ ή g(x)=0

για κάθε $x\epsilon \mathbb{R}$ .

Η πρόταση αυτή είναι λανθασμένη και αντιπαράδειγμα αποτελούν οι συναρτήσεις: $f(x)=x-\left | x \right |$ και

$g(x)=x+\left | x \right |$ .

Σύμφωνα με τις γνώσεις του σχολικού βιβλίου στην προκειμένη περίπτωση θα έχουμε ότι $f(x)f'(x)=0\Rightarrow 2f(x)f'(x)=0\Rightarrow [f(x)^{2}]'=0\Rightarrow f(x)^{2}=c$ .

Τώρα λόγω παραγωγισιμότητας της συνάρτησης έπεται η συνέχειά της και επομένως αυτή διατηρεί πρόσημο και βρίσκουμε τον τύπο της. Άρα αφού η συνάρτηση είναι σταθερή σίγουρα η παράγωγός της θα ισούται με μηδέν.
Υ.Γ.: Για να εφαρμόσω όλα τα παραπάνω πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζω ότι η συνάρτηση είναι ορισμένη σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων διαφορετικά δεν ισχύουν.

dopfev · #5

panagiotis iliopoulos έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 9:18 pm Πιστεύω ότι η πρόταση αυτή ανάγεται σε μία γενικότερη: Αν για δύο συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$
ισχύει ,

τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι για κάθε $x\epsilon \mathbb{R}$ ή για κάθε $x\epsilon \mathbb{R}$ .

Η πρόταση αυτή είναι λανθασμένη και αντιπαράδειγμα αποτελούν οι συναρτήσεις: $f(x)=x-\left | x \right |$ και

$g(x)=x+\left | x \right |$ .

Ευχαριστώ για την απάντηση. Οπότε σύμφωνα με αυτό που λες αν έχουμε $f(x)f'(x)=0, x\epsilon \mathbb{R}$ δεν μπορούμε να πούμε f(x)=0

ή

. Σωστά;

panagiotis iliopoulos · #6

Έχω τροποποιήσει την απάντησή μου. Βέβαια και έπεται ότι f'(x)=0

αλλά ξεκαθάρισα ότι απαιτείται το θεώρημα συναρτήσεων με ίσες παραγώγους. Δηλαδή δεν μπορεί κανείς να πει απευθείας ότι αφού δύο συναρτήσεις έχουν γινόμενο μηδέν άρα μία τουλάχιστον εκ των δύο είναι η μηδενική συνάρτηση.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #7

Για να ξεκαθαρίσει.
Εστω $A\subseteq \mathbb{R},A\neq \O$
που κάθε σημείο του είναι εσωτερικό.
Δηλαδή για κάθε $a\in A$ υπάρχει $\epsilon > 0$
ώστε $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\subseteq A$

Αν
$f:A\rightarrow R$
με
f(x)f'(x)=0

για κάθε

στο

τότε

για κάθε

στο

Κάντε την απόδειξη.

BAGGP93 · #8

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 9:49 pm Για να ξεκαθαρίσει.
Εστω $A\subseteq \mathbb{R},A\neq \O$
που κάθε σημείο του είναι εσωτερικό.
Δηλαδή για κάθε $a\in A$ υπάρχει $\epsilon > 0$
ώστε $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\subseteq A$

Αν
$f:A\rightarrow R$
με
για κάθε στο
τότε
για κάθε στο

Έστω $a\in A$ ώστε $f^{\prime}(a)\neq 0$ . Τότε f(a)=0

. Επιλέγω $\epsilon>0$ ώστε $\left(a-\epsilon,a+\epsilon)\subseteq A$ . Για κάθε $x\in\left(a-\epsilon,a+\epsilon\right)$

ισχύει $f(x)\,f^{\prime}(x)=0\iff 2\,f(x)\,f^{\prime}(x)=0$ και από τις Συνέπεις Θεωρήματος Μέσης Τιμής, υπάρχει

σταθερά $c\in\mathbb{R}$ ώστε f^2(x)=c

για κάθε $x\in\left(a-\epsilon,a+\epsilon\right)$ . Ειδικότερα για x=a

βρίσκουμε

, οπότε έχουμε

f^2(x)=0

για κάθε $x\in\left(a-\epsilon,a+\epsilon)$ ή ισοδύναμα f(x)=0

για κάθε $x\in\left(a-\epsilon,a+\epsilon)$ και τότε $f^{\prime}(x)=0$ για

κάθε $x\in\left(a-\epsilon,a+\epsilon\right)$ . Συγκεκριμμένα, $f^{\prime}(a)=0$ , άτοπο.

#9

Δεδομένου ότι βρισκόμαστε σε σχολικό φάκελο, τροποποιώ ελαφρώς την πρόταση του Σταύρου και αποδεικνύω το εξής:

Πρόταση:

Αν $\displaystyle{f:(a,b)\to \mathbb{R}}$ συνάρτηση για την οποία ισχύει

$\displaystyle{f(x)f'(x)=0~~\forall x\in (a,b)}$ ,

τότε η συνάρτηση είναι σταθερή στο $\displaystyle{(a,b).}$

Απόδειξη:

Ισχύει

$\displaystyle{(f^3(x))'=3f^2(x)f'(x)=0~\forall x\in (a,b),}$

οπότε υπάρχει σταθερά $\displaystyle{q^3,}$ ώστε $\displaystyle{f^3(x)=q^3~~\forall x\in (a,b).}$

Επομένως ισχύει $\displaystyle{f(x)=q~\forall x\in (a,b)}$
δηλαδή η συνάρτηση είναι σταθερή.

#10

dopfev έγραψε: Παρ Μάιος 15, 2020 9:08 pm Καλησπέρα, δική μου σκέψη. Υπάρχει αντιπαράδειγμα που να αναιρεί αυτήν την πρόταση; Με οποιοδήποτε πεδίο ορισμού... Δηλαδή υπάρχει συνάρτηση όπου το γινόμενο με την παράγωγό της να είναι μηδέν αλλά καμία να μην είναι μηδέν;

Σε πέρασα για μαθητή ! Αυτό δείχνει μάλλον την ηλικία μου

!!!

Σ-Λ

Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Re: Σ-Λ

Μέλη σε σύνδεση