Συνάρτηση με χορδές

KARKAR · #1

: Συνάρτηση με χορδές.png (12.78 KiB) Προβλήθηκε 1118 φορές

Σε κύκλο

, θεωρούμε τις ίσες , διαδοχικές και μη τεμνόμενες χορδές : AB=BC=CD=x

.

Υπολογίστε την χορδή

συναρτήσει του x ,

και σχεδιάστε την $C_{f}$ ( πλήρης μελέτη ) .

Πρόσθετο ερώτημα ( προαιρετικό ) . Αν σας δοθεί η χορδή , μπορείτε να υπολογίσετε την ;

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 26, 2022 1:09 pm Συνάρτηση με χορδές.pngΣε κύκλο , θεωρούμε τις ίσες , διαδοχικές και μη τεμνόμενες χορδές : .

Υπολογίστε την χορδή συναρτήσει του και σχεδιάστε την $C_{f}$ ( πλήρης μελέτη ) .

Πρόσθετο ερώτημα ( προαιρετικό ) . Αν σας δοθεί η χορδή , μπορείτε να υπολογίσετε την ;

Θέτουμε $\widehat {DAB} = 2\theta$ , και άρα $\widehat {DAC} = \theta$ (διότι η

είναι διχοτόμος της

). Άρα

$\displaystyle{DB= 2r\sin 2\theta =4r \sin \theta \cos \theta }$ και $x=2r\sin \theta$ , από όπου

$DB^2= 16r^2 \sin ^2 \theta \cos ^2 \theta = 4(2r\sin \theta )^2\left ( 1- \sin ^2 \theta \right ) =4x^2\left ( 1- \dfrac {x^2}{4r^2}\right ) = 4x^2- \dfrac {x^4}{r^2}$ .

Από το θεώρημα του Πτολεμαίου είναι $xf(x)+x^2=BD^2= 4x^2- \dfrac {x^4}{r^2}$ . Άρα $f(x)=3x- \dfrac {x^3}{r^2}= \dfrac {1}{r^2} x(3r^2-x^2)$ .

Aν τώρα θέλουμε το x=AB

συναρτήσει της f(x)=AD

, απλά λύνουμε την τριτοβάθμια που προέκυψε.

Για το γράφημα: Η

είναι περιττή, ρίζες $0,\, \pm r\sqrt 3$ και από την $f'(x) = \dfrac {3}{r^2} (r^2-x^2)$ έχουμε ακρότατα στα $\pm r$ .

#3

δεν καταλαβαίνω τι νόημα έχει το $\displaystyle{x<0}$ ?

#4

KARKAR έγραψε: Τετ Ιαν 26, 2022 1:09 pm Συνάρτηση με χορδές.pngΣε κύκλο , θεωρούμε τις ίσες , διαδοχικές και μη τεμνόμενες χορδές : .

Υπολογίστε την χορδή συναρτήσει του και σχεδιάστε την $C_{f}$ ( πλήρης μελέτη ) .

Πρόσθετο ερώτημα ( προαιρετικό ) . Αν σας δοθεί η χορδή , μπορείτε να υπολογίσετε την ;

Αλλιώς για τον υπολογισμό του AD.

: Συνάρτηση με χορδές.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 1074 φορές

$\displaystyle A\widehat OB = B\widehat OC = C\widehat OD = \sin \theta = \frac{x}{{2r}}$

$\displaystyle AD = 2r\sin 3\theta = 2r\left( {3\sin \theta - 4{{\sin }^3}\theta } \right) = 2r\left( {\frac{{3x}}{{2r}} - \frac{{4{x^3}}}{{8{r^3}}}} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{AD = - \frac{1}{{{r^2}}}{x^3} + 3x}$

#5

$AD = f\left( x \right) = y > 0\,\,$ . Θ Πτολεμαίου : ${x^2} + xy = {k^2}\,\,\left( 1 \right)$ , $kx = 2Rh\,\,\left( 2 \right)$ , $m = \dfrac{{y - x}}{2}\,\,\,\left( 3 \right)$ και ${x^2} = {m^2} + {h^2}\,\,\,\left( 4 \right)$ .

Η $\left( 2 \right)$ δίδει: ${k^2} = \dfrac{{4{R^2}{h^2}}}{{{x^2}}}$ $\left( 5 \right)$ . Από $\left( 3 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 4 \right)$ έχω : ${x^2} = \dfrac{{{{\left( {y - x} \right)}^2}}}{4} + {h^2} \Leftrightarrow 4{h^2} = \left( {x + y} \right)\left( {3x - y} \right)\,\,\left( 6 \right)$ .

Τέλος η $\left( 1 \right)$ λόγω των $\left( 5 \right),\,\,\left( 6 \right)$ δίδει:

: Συνάρτηση χορδής.png (17.94 KiB) Προβλήθηκε 1063 φορές

$x\left( {x + y} \right) = \dfrac{{{R^2}}}{{{x^2}}}4{h^2} = \dfrac{{{R^2}}}{{{x^2}}}\left( {x + y} \right)\left( {3x - y} \right)$ . Ο παράγοντας $\left( {x + y} \right) \ne 0$ και έτσι:

$\boxed{y = f\left( x \right) = 3x - \frac{1}{{{R^2}}}{x^3}}$

Για το πεδίο ορισμού : πρέπει πρώτα-πρώτα x > 0

ενώ στην οριακή περίπτωση που το

, είναι αντιδιαμετρικό του

η $\left( 1 \right)$ δίδει: ${x^2} + Rx - 2{R^2} = 0 \Rightarrow x = R$ και άρα :

$x \in \left( {0,R} \right)$ . Τα υπόλοιπα έχουν λεχθεί.

Παρατήρηση : η χορδή ούτως ή άλλως είναι μικρότερη ή ίση με τη διάμετρο γι αυτό επέλεξα αυτή την οριακή περίπρωση .

#6

R BORIS έγραψε: Τετ Ιαν 26, 2022 4:27 pm δεν καταλαβαίνω τι νόημα έχει το $\displaystyle{x<0}$ ?

Σωστά. Δεν έχει νόημα το $x\le 0$ . Παρασύρθηκα και κοίταξα την συνάρτηση από τον τύπο της.

Kαι από την άλλη άκρη έχουμε περιορισμό: Αν επιτρέψουμε την

να είναι και από την άλλη πλευρά του κέντρου του κύκλου, τότε το

είναι οριακά μέχρι $\sqrt 3$ . Στο σχήμα είναι μία περίπτωση που είναι σχεδόν (αλλά πάντα μικρότερο) του $\sqrt 3$ .

#7

Για το προαιρετικό, έστω $AD=a\le 2r.$ Έχουμε προς λύση την εξίσωση x^3-3r^2x+ar^2=0,

$\displaystyle \bullet$ Αν 0<a<2r,

η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

$\displaystyle \bullet$ Αν a=2r,

η εξίσωση γράφεται $\displaystyle {x^3} - 3{a^2}x + 2{a^3} = 0 \Leftrightarrow {(x - r)^2}(x + 2r) = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{x=r}$

KARKAR · #8

: Συνάρτηση με χορδές.png (15.22 KiB) Προβλήθηκε 986 φορές

Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια γωνία $0<\omega \leq 180^0$ και το τμήμα

. Τότε είναι σχετικά απλό

να δούμε ότι μπορούμε να καταστήσουμε το

, χορδή κύκλου (O)

και γωνίας $\omega$ , ( βλέπε εδώ ) .

Αν μπορούσαμε να βρούμε ( ακριβέστερα να κατασκευάσουμε ) το τμήμα

, τότε θα είχαμε

πετύχει την τριχοτόμηση της $\omega$ ! To

, είναι το $f^{-1}(a)$ ( η

αντιστρέφεται στο [0,r]

αλλά ο υπολογισμός της $f^{-1}$ είναι -ορθώς- έξω από την ύλη του Λυκείου ) .

Συνάρτηση με χορδές

Συνάρτηση με χορδές

Re: Συνάρτηση με χορδές

Re: Συνάρτηση με χορδές

Re: Συνάρτηση με χορδές

Re: Συνάρτηση με χορδές

Re: Συνάρτηση με χορδές

Re: Συνάρτηση με χορδές

Re: Συνάρτηση με χορδές

Μέλη σε σύνδεση