Παραβολικά ερωτήματα

KARKAR · #1

: Παραβολικά ερωτήματα.png (14.64 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

$\bigstar$ Το σημείο

κινείται στον δεξιό κλάδο της παραβολής : $y=\dfrac{x^2}{20}$ . Στην εκκίνηση ,

ο λόγος : $\dfrac{SA}{SB}$ , είναι φυσικά : $\dfrac{3}{4}$ . α) Θα ξαναπάρει ποτέ αυτός ο λόγος αυτή την τιμή ;

β) Ποια είναι ελάχιστη τιμή αυτού του λόγου ; γ) Υπάρχει μέγιστη τιμή αυτού του λόγου ;

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 07, 2023 6:38 pm Παραβολικά ερωτήματα.png $\bigstar$ Το σημείο κινείται στον δεξιό κλάδο της παραβολής : $y=\dfrac{x^2}{20}$ . Στην εκκίνηση ,

ο λόγος : $\dfrac{SA}{SB}$ , είναι φυσικά : $\dfrac{3}{4}$ . α) Θα ξαναπάρει ποτέ αυτός ο λόγος αυτή την τιμή ;

β) Ποια είναι ελάχιστη τιμή αυτού του λόγου ; γ) Υπάρχει μέγιστη τιμή αυτού του λόγου ;

α) Έστω $\displaystyle S\left( {x,\frac{{{x^2}}}{{20}}} \right),x \geqslant 0.$ Τότε, $\displaystyle S{A^2} = {x^2} + {\left( {\frac{{{x^2}}}{{20}} - 3} \right)^2} = \frac{{{x^4} + 280{x^2} + 3600}}{{400}}$

και ομοίως $\displaystyle S{B^2} = \frac{{{x^4} + 560{x^2} + 6400}}{{400}}$

$\displaystyle \frac{{SA}}{{SB}} = \frac{3}{4} \Leftrightarrow \frac{{{x^4} + 280{x^2} + 3600}}{{{x^4} + 560{x^2} + 6400}} = \frac{9}{{16}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=0}$ ή $\boxed{x=4\sqrt 5}$

Ο λόγος λοιπόν παίρνει ξανά την τιμή $\dfrac{3}{4}$ στο σημείο $S(4\sqrt 5, 4).$

β) Θεωρώ τη συνάρτηση $\displaystyle f(x) = \frac{{{x^4} + 280{x^2} + 3600}}{{{x^4} + 560{x^2} + 6400}},x \geqslant 0$ με παράγωγο $\displaystyle f'(x) = \frac{{560x({x^2} - 20)({x^2} + 40)}}{{{{({x^4} + 560{x^2} + 6400)}^2}}}$

Η

παρουσιάζει λοιπόν για $x=2\sqrt 5$ ελάχιστη τιμή ίση με $\dfrac{8}{15}$ και για x=0

τοπικό μέγιστο ίσο με $\dfrac{9}{16},$ ενώ δεν υπάρχει ολικό μέγιστο. Άρα, $\boxed{{\left( {\frac{{SA}}{{SB}}} \right)_{\min }} = \sqrt {\frac{8}{{15}}} }$

Επειδή η

είναι γνησίως αύξουσα στο $\displaystyle [2\sqrt 5 , + \infty )$ και $\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 1,$ θα είναι $\boxed{\frac{SA}{SB}<1}$

Παραβολικά ερωτήματα

Παραβολικά ερωτήματα

Re: Παραβολικά ερωτήματα

Μέλη σε σύνδεση