Το πιο μακρινό

KARKAR · #1

: Το πιο μακρινό.png (24.3 KiB) Προβλήθηκε 866 φορές

$\bigstar$ Το σημείο

κινείται στην παραβολή : f(x)=x^2

, από το

έως το

.

Βρείτε - χωρίς χρήση λογισμικού - το μέγιστο της απόστασης του

από το

.

#2

Ενδιαφέρον παρουσιάζει η γενικότερη περίπτωση

Έστω $\displaystyle A(a,{{a}^{2}}),a>0,S(x,{{x}^{2}}),-a\le x<0$
Η απόσταση των $\displaystyle A,S$ δίνεται από την
$\displaystyle g(x)=\sqrt{{{(x-a)}^{2}}+{{({{x}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}}},\,\,\,-a\le x<0$
Αρκεί να βρούμε το μέγιστο της
$\displaystyle t(x)={{(x-a)}^{2}}+{{({{x}^{2}}-{{a}^{2}})}^{2}},\,-a\le x<0$
Είναι $\displaystyle {t}'(x)=2{{x}^{3}}+(1-2{{a}^{2}})x-a=(x-a)(2{{x}^{2}}+2ax+1),-a\le x<0$ , όπου το $\displaystyle x-a<0$
Το τριώνυμο $\displaystyle 2{{x}^{2}}+2ax+1$ έχει $\displaystyle \Delta =4({{a}^{2}}-2)$ ,οπότε
Aν $\displaystyle 0<a\le \sqrt{2}$ τότε $\displaystyle {t}'(x)\le 0$ οπότε η $\displaystyle t$ είναι γνησίως φθίνουσα
και έχει μέγιστο για $\displaystyle x=-a$ οπότε η μέγιστη απόσταση είναι $\displaystyle g(-a)=2a$
Aν $\displaystyle a>\sqrt{2}$ , τότε με πίνακα προσήμου βρίσκουμε ότι η $\displaystyle t$ έχει μέγιστο για $\displaystyle x=\frac{-a+\sqrt{{{a}^{2}}-2}}{2}$
Εφαρμογή για $\displaystyle a=2$ .
Το μέγιστο εμφανίζεται για $\displaystyle x=-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ , με τιμή

$\displaystyle g(-1+\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{{{\left( -1+\frac{\sqrt{2}}{2}-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{\left( -1+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}-4 \right)}^{2}}}=\frac{\sqrt{71+8\sqrt{2}}}{2}$

Το πιο μακρινό

Το πιο μακρινό

Re: Το πιο μακρινό

Μέλη σε σύνδεση