Η πιο μεγάλη στιγμή

KARKAR · #1

: Η πιο μεγάλη στιγμή.png (8.54 KiB) Προβλήθηκε 252 φορές

Στο τετράγωνο ABCD

, πλευράς

, εγγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο PQST

,

με βάσεις παράλληλες προς την διαγώνιο

. Βρείτε το ύψος του τραπεζίου , για το

οποίο μεγιστοποιείται το εμβαδόν του . Πόσο μπορεί να είναι τότε μήκος του

;

#2

KARKAR έγραψε: Δευ Μαρ 23, 2026 9:44 am Η πιο μεγάλη στιγμή.pngΣτο τετράγωνο , πλευράς , εγγράφουμε ισοσκελές τραπέζιο ,

με βάσεις παράλληλες προς την διαγώνιο . Βρείτε το ύψος του τραπεζίου , για το

οποίο μεγιστοποιείται το μέγιστο εμβαδόν του και το τότε μήκος του τμήματος .

: Η πιο.png (15.32 KiB) Προβλήθηκε 249 φορές

.
Θα το κάνω χωρίς Διαφορικό Λογισμό. Συγρόνως θα κάνω μία διώρθωση στην εκφώνιση.

Είναι

$E = 5\times 5- \dfrac {1}{2} \left ((5-q)^2+pq+pq+(5-p)^2\right ) =\dfrac { 25}{2} - \dfrac {1}{2} (p+q-5) ^2\le \dfrac { 25}{2}$ με ισότητα όταν p+q=5

.

Συνεπώς μεγιστοποιείται σε άπειρες θέσεις, αρκεί p+q=5

. Το

μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή με 0<p<5

.

Αντίστοιχα το ύψος είναι (κάνω διόρθωση σε αυτό που είχα γράψει αρχικά) σταθερά $\dfrac {5\sqrt 2}{2}$ για όλες τις περιπρώσεις (δηλαδή το μισό της διαγωνίου). Πράγματι, το άθροισμα των βάσεων είναι

$B+b= (5-q)\sqrt 2+ (5-q)\sqrt 2= 10\sqrt 2- (p+q)\sqrt 2 = 10\sqrt 2- 5\sqrt 2 = 5\sqrt 2$ σταθερό, από όπου έπεται το ζητούμενο αφού

$\dfrac { 25}{2}= E= \dfrac {1}{2}(B+b)h= \dfrac {1}{2}\cdot 5\sqrt 2 h$ , και λοιπά.

Edit. Eυχαριστώ τον Θανάση για την επισήημανση του σφάλματός μου στην αρχική λύση.

KARKAR · #3

Θα μπορούσε να παρατηρήσει κανείς , ότι για : $p=\dfrac{5}{2}$ , το PQST

είναι τετράγωνο , άρα να εξαιρέσει αυτή την τιμή .

Επουσιώδης λεπτομέρεια , ούτε εγώ την είχα σκεφθεί . Ελπίζω ο Γ. Βισβίκης που διετύπωσε την παρατήρηση με π.μ. ,

να μην έχει αντίρρηση που το αναφέρω . Πάντως δεν θα έκοβα βαθμό

#4

KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 26, 2026 11:55 am Θα μπορούσε να παρατηρήσει κανείς , ότι για : $p=\dfrac{5}{2}$ , το είναι τετράγωνο , άρα να εξαιρέσει αυτή την τιμή .

... ο Γ. Βισβίκης που διετύπωσε την παρατήρηση με π.μ. ,

Ο Γιώργος Β., ως προς την λεπτομέρεια αυτή έχει δίκιο. Άλλωστε έγραψε και σε μένα ένα σχετικό Π.Μ. (τον ευχαριστώ).

Όμως συνηθίζεται τέτοιες εξαιρέσεις να προσπερνούνται, και αυτό γιατί ο ορισμός μερικών εννοιών μπορεί να αλλάξει από εποχή σε εποχή. Για παράδειγμα για τον Αριστοτέλη τα ισοσκελή τρίγωνα είναι εκείνα τα οποία έχουν (μόνο) ένα ζεύγος ίσων πλευρών. Οπότε τα ισόπλευρα τρίγωνα δεν είναι ισοσκελή. Όμως οι περισσότεροι Μαθηματικοί σήμερα συμπεριλαμβάνουν και τα ισόπλευρα στα ισοσκελή.

Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει με τα τραπέζια. Άλλοι θεωρούν ότι οι παράλληλες πλευρές πρέπει να είναι άνισες. Άλλοι, εμού συμπεριλαμβανομένου, θεωρούν ότι τα τετράγωνα και γενικότερα τα παραλληλόγραμμα αποτελούν υποσύνολο των τραπεζίων, και όχι ξένο σύνολο.

#5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Μαρ 26, 2026 4:13 pm
KARKAR έγραψε: Πέμ Μαρ 26, 2026 11:55 am Θα μπορούσε να παρατηρήσει κανείς , ότι για : $p=\dfrac{5}{2}$ , το είναι τετράγωνο , άρα να εξαιρέσει αυτή την τιμή .

... ο Γ. Βισβίκης που διετύπωσε την παρατήρηση με π.μ. ,

Για παράδειγμα για τον Αριστοτέλη τα ισοσκελή τρίγωνα είναι εκείνα τα οποία έχουν (μόνο) ένα ζεύγος ίσων πλευρών. Οπότε τα ισόπλευρα τρίγωνα δεν είναι ισοσκελή. Όμως οι περισσότεροι Μαθηματικοί σήμερα συμπεριλαμβάνουν και τα ισόπλευρα στα ισοσκελή.

Το ίδιο ακριβώς συμβαίνει με τα τραπέζια. Άλλοι θεωρούν ότι οι παράλληλες πλευρές πρέπει να είναι άνισες. Άλλοι, εμού συμπεριλαμβανομένου, θεωρούν ότι τα τετράγωνα και γενικότερα τα παραλληλόγραμμα αποτελούν υποσύνολο των τραπεζίων, και όχι ξένο σύνολο.

Όπως τα γράφεις είναι Μιχάλη. Θα συμφωνήσω ως προς το τι ισχύει τώρα και τι ίσχυε παλαιότερα, τουλάχιστον σε σχολικό
επίπεδο. Για παράδειγμα, όταν εγώ πήγαινα σχολείο δεν βάζαμε περιορισμούς στις κυβικές ρίζες. Αν όμως το πω σε σημερινούς
μαθητές θα μπερδευτούν με αυτά που έχουν ήδη διδαχθεί και διαβάζουν στα βιβλία τους.

Έτσι λοιπόν, έκανα και αυτή την παρατήρηση μόνο και μόνο λόγω φακέλου. Αν ήταν σε διαγωνιστικά Μαθηματικά δεν θα το
ανέφερα καν. Αλλά είναι σε ένα φάκελο μαθητικό. Και όταν απευθυνόμαστε σε μαθητές οφείλουμε να εναρμονιζόμαστε με τους
ορισμούς του σχολικού βιβλίου.

Η πιο μεγάλη στιγμή

Η πιο μεγάλη στιγμή

Re: Η πιο μεγάλη στιγμή

Re: Η πιο μεγάλη στιγμή

Re: Η πιο μεγάλη στιγμή

Re: Η πιο μεγάλη στιγμή

Μέλη σε σύνδεση