Με απλά υλικά (43)

#1

Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση

f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}

ώστε

{f}'(x)\ln x=1

για κάθε

και

.
Δίνεται ακόμα ότι

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(e+x)+\alpha x+\beta }{\ln (1+x)}=e

με $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ .
Δ1. Να αποδείξετε ότι $\beta =0$ και

\alpha =e-1

, και να υπολογίσετε το

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(e+x)}{x}

.
Δ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση

ως προς τη μονοτονία και τη κυρτότητα.
Δ3. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε x>e

ισχύει :

\frac{x-e}{\ln x}<f(x)<x-e

β) Να αποδείξετε ότι:

\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x+1)-f(x) \right)=0

Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=1

έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα στο διάστημα

(e,{{e}^{2}})

.
Δ5. Να αποδείξετε ότι η ευθεία x=1

είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

.

Dimessi · #2

Εκτός φακέλου το Δ5.
Δ5. Καθώς

x\rightarrow 1^{+}:\displaystyle f(x)=\int \limits_{e}^{x} \dfrac{1}{\ln y} dy=-\int \limits_{x}^{e} \dfrac{1}{\ln y}dy=-\int \limits _{\ln x}^{1} \dfrac{e^z}{z}dz \leqslant -\int \limits _{\ln x}^{1} \dfrac{z+1}{z}dz=\ln x+\ln \left (\ln x\right)-1 \rightarrow -\infty

Δ3 β)

f(x+1)-f(x)=f'(q_x)=\dfrac{1}{\ln q_x} \rightarrow 0

καθώς $x\rightarrow +\infty$ από ΘΜΤ για την

στο

με το

q_x>x\rightarrow +\infty

abgd · #3

exdx έγραψε: Κυρ Οκτ 25, 2026 9:47 am Έστω μια παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:(1,+\infty )\to \mathbb{R}$ ώστε ${f}'(x)\ln x=1$ για κάθε και .
Δίνεται ακόμα ότι $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(e+x)+\alpha x+\beta }{\ln (1+x)}=e$ με $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ .
Δ1. Να αποδείξετε ότι $\beta =0$ και $\alpha =e-1$ , και να υπολογίσετε το $\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(e+x)}{x}$ .
Δ2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τη κυρτότητα.
Δ3. α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει : $\frac{x-e}{\ln x}<f(x)<x-e$
β) Να αποδείξετε ότι: $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f(x+1)-f(x) \right)=0$
Δ4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία πραγματική ρίζα στο διάστημα $(e,{{e}^{2}})$ .
Δ5. Να αποδείξετε ότι η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της .

Δ1.

\underset{x\to 0}{\lim }\left[\dfrac{f(e+x)+\alpha x+\beta }{\ln (1+x)}\cdot ln(1+x)\right]=e\cdot 0=0 \Rightarrow \beta=0

e=\underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{f(e+x)+\alpha x }{\ln (1+x)}\underset{DLH}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{\left(f(e+x)+\alpha x \right)' }{\left(\ln (1+x)\right)'}=\underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{f'(e+x)+\alpha }{\dfrac{1}{1+x}}=\underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{\dfrac{1}{ln(e+x)}+\alpha }{\dfrac{1}{1+x}}=\alpha+1 \Rightarrow \alpha=e-1

\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(e+x)}{x}\underset{DLH}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f'(e+x)}{1}=\underset{x\to 0}{\lim }\dfrac{1}{ln(x+e)}=1

Δ2.

{f}'(x)\ln x=1\Rightarrow f'(x)=\dfrac{1}{lnx}>0

για κάθε

,

{f}''(x)=-\dfrac{1}{xln^2x}<0

για κάθε

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα και κοίλη.

Δ3.
α) Από Θ.Μ.Τ. στο διάστημα

[e,x]

για την συνάρτηση

υπάρχει

\xi \in (e,x)

ώστε:

f'(\xi)=\dfrac{f(x)-f(e)}{x-e}=\dfrac{f(x)}{x-e}

Όμως η

είναι κοίλη, οπότε

f'(x)<f'(\xi)<f'(e) \Rightarrow \dfrac{1}{lnx}<\dfrac{f(x)}{x-e}<\dfrac{1}{lne} \Rightarrow \dfrac{x-e}{lnx}<f(x)<x-e

β) Από Θ.Μ.Τ. στο διάστημα [x,x+1]

για την συνάρτηση

υπάρχει $\xi \in (x,x+1)$ ώστε:

f'(\xi)=\dfrac{f(x+1)-f(x)}{x+1-x}=f(x+1)-f(x)

Όμως η

είναι κοίλη, οπότε

f'(x+1)<f'(\xi)<f'(x) \Rightarrow \dfrac{1}{ln(x+1)}<f(x+1)-f(x)<\dfrac{1}{lnx}

και εφόσον

\underset{x\to +\infty}{\lim } \dfrac{1}{ln(x+1)} =\underset{x\to +\infty}{\lim } \dfrac{1}{lnx} =0

, θα είναι και

\underset{x\to +\infty}{\lim }\left(f(x+1)-f(x)\right)=0

Δ4.
Είναι f(e)=0

και από την ανισότητα

\dfrac{x-e}{lnx}<f(x)

θα είναι

f(e^2)>\dfrac{e^2-e}{2}>1

.
Εφόσον η

είναι συνεχής, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, το 1 θα είναι τιμή της στο διάστημα

(e,e^2)

.
Έτσι, η εξίσωση f(x)=1

θα έχει μία ρίζα, η οποία βρίσκεται στο

(e,e^2)

και βέβαια θα είναι μοναδική στο $(1, +\infty)$ , αφού η

είναι γνησίως αύξουσα.

Δ5.

Για κάθε

x\in(1,e)

και

t\in [x,e]

είναι

0<lnt<t-1 \Rightarrow \dfrac{1}{lnt}>\dfrac{1}{t-1}

-f(x)=\int_x^e f'(t)dt=\int_x^e \dfrac{1}{lnt}dt>\int_x^e \dfrac{1}{t-1}dt=ln\dfrac{e-1}{x-1}\Rightarrow f(x)<ln\dfrac{x-1}{e-1}

Όμως

\underset{x\to 1^+}{\lim } ln\dfrac{x-1}{e-1}=-\infty

, οπότε και

\underset{x\to 1^+}{\lim } f(x)=-\infty

,

δηλαδή η ευθεία x=1

είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της

Με απλά υλικά (43)

Με απλά υλικά (43)

Re: Με απλά υλικά (43)

Re: Με απλά υλικά (43)

Μέλη σε σύνδεση