Εύρεση Συνάρτησης

orestisgotsis · #1

Περιττό

#2

orestisgotsis έγραψε:Να βρεθούν οι διαφορίσιμες $\displaystyle{f:\left( 0,\,\,+\infty \right)\to \mathbb{R}}$ με $\displaystyle{f(1)=e}$ και

$\displaystyle{{f}'(x)=f(x)+\frac{f(x)}{x}+{{e}^{x}}}\quad (1)$ για κάθε $\displaystyle{x>0}$ .

$(1)\Rightarrow$

$xf'(x)=xf(x)+f(x)+xe^x\Rightarrow \dfrac{xf'(x)-f(x)}{x^2}=\dfrac{f(x)}{x}+\dfrac{e^x}{x}\Rightarrow$

$(\dfrac{f(x)}{x})'-(\dfrac{f(x)}{x})=\dfrac{e^x}{x}\Rightarrow (e^{-x}\dfrac{f(x)}{x})'=(\ln x)'$

άρα $e^{-x}\dfrac{f(x)}{x}=\ln x+c$

με x=1

βρίσκουμε

κι έχουμε $f(x)=xe^{x}+xe^{x}\ln x,x>0$ ,ικανοποιεί την (1)

Tolaso J Kos · #3

Καλησπέρα,

$\displaystyle{f'(x)-\frac{f(x)(x-1)}{x}=e^x}$ . Πολλαπλασιάζω και τα δύο μέλη της σχέσης αυτής με $\displaystyle{\dfrac{e^{-x}}{x}}$ και έχω:
$\displaystyle{\frac{f'(x)}{xe^x}-\frac{(x+1)f(x)}{x^2e^x}=\frac{1}{x}\Rightarrow \left ( \frac{f(x)}{xe^x} \right )'=\left ( \ln x \right )'}$

Οπότε $\displaystyle{f(x)=xe^x(\ln x+1),\, \, x>0}$ .

Με πρόλαβε η κα Φωτεινή, το αφήνω για τη διαφορετική αντιμετώπιση.

Εύρεση Συνάρτησης

Εύρεση Συνάρτησης

Re: Εύρεση Συνάρτησης

Re: Εύρεση Συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση