Ενδιαφέροντα Όρια

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Θεωρούμε την

$f(x)=e^{(\ln x)^{\frac{1}{2}}}$ για x>1

Εστω

Να δειχθεί

1) $\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{(lnx)^{a}}=\infty$

2) $\lim_{x\rightarrow \infty }\dfrac{f(x)}{x^{a}}=0$

BAGGP93 · #2

Γεια σας κύριε Σταύρο.

1. Έστω $\displaystyle{x>1}$ . Τότε, $\displaystyle{\ln\,x>0}$ και

$\displaystyle{\dfrac{f(x)}{(\ln\,x)^a}=\dfrac{e^{\sqrt{\ln\,x}}}{e^{a\,\ln\,(\ln\,x)}}=\rm{exp}\left(\sqrt{ln\,x}-a\,\ln\,(\ln\,x)\right)$ .

Αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{\ln\,x}-a\,\ln\,(\ln\,x))=+\infty}$ . Πράγματι,

$\displaystyle{\begin{aligned}\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{\ln\,x}-a\,\ln\,(\ln\,x))&=\lim_{y\to +\infty}(\sqrt{y}-a\,\ln\,y)\\&=\lim_{u\to +\infty}\left(u-a\,\ln\,u^2\right)\\&=\lim_{u\to +\infty}u\,\left(1-2\,a\,\dfrac{\ln\,u}{u}\right)\\&=+\infty\end{aligned}}$

2. Για $\displaystyle{x>1}$ έχουμε

$\displaystyle{\dfrac{f(x)}{x^a}=e^{\sqrt{\ln\,x}-a\,\ln\,x}}$ , όπου

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}(\sqrt{\ln\,x}-a\,\ln\,x)&=\lim_{x\to +\infty}(x-a\,x^2)=-\infty}$ , άρα

$\displaystyle{\lim_{x\to +\infty}\dfrac{f(x)}{x^a}=0}$ .

Ενδιαφέροντα Όρια

Ενδιαφέροντα Όρια

Re: Ενδιαφέροντα Όρια

Μέλη σε σύνδεση