Εύρεση συνάρτησης και μελέτη

M.S.Vovos · #1

Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοια ώστε:

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f(1)=\sqrt{e-1}}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f(x)\Big(f(x)(1-x)+2xf'(x)\Big)=1}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{e^{x}-1}{x}}, &x\neq 0 \\ 1, &x=0 \end{matrix}\right.}$

(β) Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο με τετμημένη $x_{0}=0$ και να μελετήσετε τη συνάρτηση

ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών.

(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης

, τέμνει την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία.
(γ.ii.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση

είναι κυρτή και στη συνέχεια ότι, υπάρχει μοναδικό $\xi \in \mathbb{R}^{*}$ τέτοιο, ώστε:
$\displaystyle{e^{\xi }\left ( 1-\frac{1}{\xi } \right )+\frac{1}{\xi }=2\xi f(\xi )$ (δ) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{2017}$ , για τους οποίους ισχύει:
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{2017}f\left ( \alpha _{i} \right )=\frac{1}{2\sqrt{e-1}}\sum_{i=1}^{2017}\alpha _{i}+\frac{4034e-6051}{2\sqrt{e-1}}}$ Φιλικά,
Μάριος

Σταμ. Γλάρος · #2

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μία κατασκευή.
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοια ώστε:

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f(1)=\sqrt{e-1}}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f(x)\Big(f(x)(1-x)+2xf'(x)\Big)=1}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{e^{x}-1}{x}}, &x\neq 0 \\ 1, &x=0 \end{matrix}\right.}$

(β) Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο με τετμημένη $x_{0}=0$ και να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών.

(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης , τέμνει την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία.
(γ.ii.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή και στη συνέχεια ότι, υπάρχει μοναδικό $\xi \in \mathbb{R}^{*}$ τέτοιο, ώστε:
$\displaystyle{e^{\xi }\left ( 1-\frac{1}{\xi } \right )+\frac{1}{\xi }=2\xi f(\xi )$ (δ) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{2017}$ , για τους οποίους ισχύει:
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{2017}f\left ( \alpha _{i} \right )=\frac{1}{2\sqrt{e-1}}\sum_{i=1}^{2017}\alpha _{i}+\frac{4034e-6051}{2\sqrt{e-1}}}$ Φιλικά,
Μάριος

Καλησπέρα . Μια προσπάθεια για το α).
Είναι $f(x)\left ( f(x)(1-x)+2xf'(x) \right )=1\Leftrightarrow f^2(x) +2xf(x)f'(x)=xf^2(x)+1\Leftrightarrow$

$\left (f^2(x)x \right )' e^{-x}+f^2(x)x (e^{-x})'= (-e^{-x})'$ . Άρα από πόρισμα συνεπειών ΘΜΤ συμπεραίνουμε

$f^2(x)xe^{-x}=-e^{-x}+c$ . Για x=1

έχουμε

. Άρα $f^2(x)x=-1 + e^{x}$ και

για $x\neq 0, \,\, f^2(x)=\dfrac{e^x-1}{x}.$

Τώρα για x>0

, λύνω την εξίσωση f(x)=0

$\Leftrightarrow$ f^2 (x)=0

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $\dfrac{e^x-1}{x}=0$ , Αδύνατη για x>0

.
Συνεπώς $f(x) \neq 0$ , άρα η

διατηρεί πρόσημο για κάθε x>0

και επειδή f(1)>0

προκύπτει $f(x)=\sqrt{\frac{e^x-1}{x}},\,\,\, \forall x\in(0, +\infty )$

Ομοίως στο $(-\infty, 0 )$ $f(x) \neq 0$ , άρα η

διατηρεί πρόσημο.
Έστω f(x)<0

.
Τότε $\displaystyle\lim_{x\to 0^{-} } f(x) = -1 \neq \displaystyle\lim_{x\to 0^{+}} f(x) =1$ .
Επομένως η περίπτωση αυτή δεν είναι δεκτή αφού η συνάρτηση δεν είναι συνεχής.

Άρα $f(x)=\sqrt{\frac{e^x-1}{x}},\,\,\, \forall x\neq 0$ . Για x=0

έχουμε $f(0)=\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) =1$ .
To όριο υπολογίζεται εύκολα ή με τον κανόνα του De L' Hospital ή με την παράγωγο της e^x

στο

.
Δυστυχώς εδώ πρέπει να σταματήσω. Θα προσπαθήσω για τα επόμενα ερωτήματα αργότερα.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μία κατασκευή.
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοια ώστε:

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f(1)=\sqrt{e-1}}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f(x)\Big(f(x)(1-x)+2xf'(x)\Big)=1}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{e^{x}-1}{x}}, &x\neq 0 \\ 1, &x=0 \end{matrix}\right.}$

(β) Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο με τετμημένη $x_{0}=0$ και να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών.

(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης , τέμνει την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία.
(γ.ii.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή και στη συνέχεια ότι, υπάρχει μοναδικό $\xi \in \mathbb{R}^{*}$ τέτοιο, ώστε:
$\displaystyle{e^{\xi }\left ( 1-\frac{1}{\xi } \right )+\frac{1}{\xi }=2\xi f(\xi )$ (δ) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{2017}$ , για τους οποίους ισχύει:
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{2017}f\left ( \alpha _{i} \right )=\frac{1}{2\sqrt{e-1}}\sum_{i=1}^{2017}\alpha _{i}+\frac{4034e-6051}{2\sqrt{e-1}}}$ Φιλικά,
Μάριος

Δίνω απάντηση για το $\delta$ το οποίο κατά την γνώμη μου είναι άστοχο και χαλάει την ομορφιά της άσκησης.
Παίρνουμε $a_{i}=1,i=1,2,....,2017$

M.S.Vovos · #4

Επαναφορά για τα υπόλοιπα ερωτήματα!

Σταμ. Γλάρος · #5

M.S.Vovos έγραψε:
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Μία κατασκευή.
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , τέτοια ώστε:

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f(1)=\sqrt{e-1}}$

$\displaystyle{\bullet \hspace{3mm}f(x)\Big(f(x)(1-x)+2xf'(x)\Big)=1}$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

(α) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{f(x)=\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{e^{x}-1}{x}}, &x\neq 0 \\ 1, &x=0 \end{matrix}\right.}$

(β) Να βρείτε την εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο με τετμημένη $x_{0}=0$ και να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα και το σύνολο τιμών.

(γ.i.) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης , τέμνει την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου σε ακριβώς δύο σημεία.
(γ.ii.) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι κυρτή και στη συνέχεια ότι, υπάρχει μοναδικό $\xi \in \mathbb{R}^{*}$ τέτοιο, ώστε:
$\displaystyle{e^{\xi }\left ( 1-\frac{1}{\xi } \right )+\frac{1}{\xi }=2\xi f(\xi )$ (δ) Να προσδιορίσετε τους πραγματικούς αριθμούς $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{2017}$ , για τους οποίους ισχύει:
$\displaystyle{\sum_{i=1}^{2017}f\left ( \alpha _{i} \right )=\frac{1}{2\sqrt{e-1}}\sum_{i=1}^{2017}\alpha _{i}+\frac{4034e-6051}{2\sqrt{e-1}}}$ Φιλικά,
Μάριος

Καλησπέρα. Μια προσπάθεια για τα β) και γ).
β) Είναι:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-1}{x}$ και ισχύει f(x)>0

$\forall x\in\mathbb{R}.$
Επίσης έχουμε :
$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{\dfrac{e^x-1}{x}}}\cdot \left (\dfrac{e^x-1}{x} \right )'= \dfrac{e^xx -e^x+1}{2x^2 f(x)}= \dfrac{g(x)}{2x^2f(x)},$ για $x\neq 0$
όπου g(x)=e^xx-e^x+1,

με

Επειδή έχουμε απροσδιόριστη μορφή: $\dfrac{0}{0}$ , από κανόνα de L' Hospital ισχύει:
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{f(x)-1}{x}= \lim_{x\rightarrow 0}f'(x)= \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{g(x)}{2x^2f(x)}= \lim_{x\rightarrow 0}\left (\dfrac{e^x-e^x+1}{x^2}\cdot \dfrac{1}{2f(x)} \right )=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}$
διότι πάλι από κανόνα de L' Hospital ισχύει: $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^x-e^x+1}{x^2} =\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{e^xx}{2x} = \dfrac{1}{2}$ .
Άρα εξίσωση της εφαπτομένης $y=\dfrac{1}{4}x+1.$

Από πινακάκι έχουμε $g'(x)<0 ,\,\,\, \forall x\in(-\infty ,0)$ άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty ,0]$ και
$g'(x)>0 ,\,\,\, \forall x\in(0,+\infty )$ άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στο $[0, +\infty )$ .
Συνεπώς $g(x)\geq 0,\,\ \forall x\in \mathbb{R}$ .
Επομένως $f'(x)>0 ,\,\,\, \forall x\in(-\infty,0) \cup (0,+\infty )$ και επειδή

συνεχής στο $\mathbb{R}$ ως παραγωγίσιμη
συμπεραίνουμε ότι η

είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το $\mathbb{R}$ . Άρα δεν παρουσιάζει ακρότατα.

Τώρα $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\sqrt{\dfrac{e^x-1}{x}} =0$ , αφού $\displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}(e^x-1)=-1$ και η $\dfrac{1}{x}\rightarrow 0$ με x<0.

Επίσης $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{\dfrac{e^x-1}{x}} = +\infty$ , αφού $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{e^x-1}{x}=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x= + \infty.$
εφαρμόσαμε πάλι κανόνα de L' Hospital.
Τελικά το σύνολο τιμών της

είναι το $(0,+\infty) .$

(γ i) Θεωρώ την συνάρτηση h(x)=f(x)-x

με

επειδή για x<0

η $C_{f}$ βρίσκεται πάνω από τον xx'

ενώ η

βρίσκεται κάτω από τον xx'

.

Είναι h(0)=f(0)=1>0

,
$h(2)=\sqrt{\dfrac{e^2-1}{2}}-2<0$ επειδή $\sqrt{\dfrac{e^2-1}{2}}<2$ $\Leftrightarrow$ \displaystyle{\sqrt{e^2-1}<2\sqrt{2}

\Leftrightarrow

e^2<9

\Leftrightarrow

e<3

h

[0,2]

x_{1}\in (0,2) της

h.

\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}(f(x)-x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}
\left ( \sqrt{\dfrac{e^x-1}{x}}-x\right) =\lim_{x\rightarrow +\infty} x\left ( \sqrt{\dfrac{e^x-1}{x^3}}-1\right)=+\infty , αφού

\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{e^x-1}{x^3}= +\infty (εύκολα με κανόνα de L' Hospital).
Από το παραπάνω όριο συμπεραίνουμε ότι υπάρχει

k>2

f(k)>0.

f

[2,k]

x_{2}\in (2,k) της

h.

x_{1}, x_{2} , x_{3} τρεις διαφορετικές ανά δύο ρίζες της

h

x_{1}< x_{2} < x_{3} .
Ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle για την

h

[x_{1}, x_{2}] και

[x_{2} , x_{3}] .
Άρα υπάρχουν

\xi _{1}\in (x_{1},x_{2}) ,\,\,\, \xi _{2}\in (x_{2},x_{3}) ώστε

f'(\xi _{1})=f'(\xi _{2})=0. Επομένως ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ.Rolle και για την

h'

[\xi _{1}, \xi _{2} ]. Άρα υπάρχουν

\xi \in (\xi _{1},\xi _{2}) ώστε

h''(x)= f''(\xi )=0. (1)

Όμως όπως απεδείχθη εδώ: <a href="http://www.mathematica.gr/forum/viewtopic.php?f=53&t=57663" class="postlink">viewtopic.php?f=53&t=57663</a>, ισχύει

f''(x)>0

x>0.

f

h

[x_{1},x_{2}] , όπου

x_{1},x_{2} τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

f

, με την διχοτόμο του 1ου και 3ου τεταρτημορίου, συμπεραίνουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα

\xi \in (x_{1},x_{2}): h'(\xi )=0

\Leftrightarrow

f'(\xi )=1

\Leftrightarrow

\dfrac{g(\xi)}{2\xi^2f(\xi)}=1} $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $\dfrac{e^{\xi}\xi-e^{\xi}+1}{2\xi^2f(\xi)}=1$ \displaystyle{\Leftrightarrow

\Leftrightarrow

\dfrac{e^{\xi}\xi-e^{\xi}+1}{\xi}=2\xi f(\xi)} $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ $e^{\xi}(1-\dfrac{1}{\xi})+\dfrac{1}{\xi}=2\xi f(\xi)$ .

Επίσης λόγω κυρτότητας έχουμε ότι

γνησίως αύξουσα , άρα και f':1-1

.
Επομένως το $\xi$ μοναδικό και φυσικά διαφορετικό του μηδενός.

Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

Εύρεση συνάρτησης και μελέτη

Εύρεση συνάρτησης και μελέτη

Re: Εύρεση συνάρτησης και μελέτη

Re: Εύρεση συνάρτησης και μελέτη

Re: Εύρεση συνάρτησης και μελέτη

Re: Εύρεση συνάρτησης και μελέτη

Μέλη σε σύνδεση