Από εξετάσεις...

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 902
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Από εξετάσεις...

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τετ Νοέμ 01, 2017 4:48 pm

Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\ln \left ( e^{x}-x-1 \right )^{x}}.

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση \displaystyle{\textup{g}(x)=\left\{\begin{matrix} 
f(x) &,x\neq 0 \\\\  
0 &,x=0  
\end{matrix}\right.}.

(β) Να εξετάσετε αν ο παρακάτω ισχυρισμός είναι αληθής ή ψευδής, αιτιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας:

«Η συνάρτηση \textup{g} είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο O(0,0)
(γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \textup{g} είναι 1-1 και αντιστρέψιμη στο \mathbb{R}.


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1548
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Από εξετάσεις...

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Πέμ Νοέμ 02, 2017 1:11 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Τετ Νοέμ 01, 2017 4:48 pm
Δίνεται η συνάρτηση \displaystyle{f(x)=\ln \left ( e^{x}-x-1 \right )^{x}}.

(α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

Έστω, επιπλέον, η συνάρτηση \displaystyle{\textup{g}(x)=\left\{\begin{matrix} 
f(x) &,x\neq 0 \\\\  
0 &,x=0  
\end{matrix}\right.}.

(β) Να εξετάσετε αν ο παρακάτω ισχυρισμός είναι αληθής ή ψευδής, αιτιολογώντας σε κάθε περίπτωση την απάντησή σας:

«Η συνάρτηση \textup{g} είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της και η γραφική της παράσταση δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο σημείο O(0,0)
(γ) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \textup{g} είναι 1-1 και αντιστρέψιμη στο \mathbb{R}.
...μια γρήγορη ματιά στα (α), (β)

α) Για να ορίζεται η \displaystyle{f(x)=\ln \left ( e^{x}-x-1 \right )^{x}} πρέπει και αρκεί {{\left( {{e}^{x}}-x-1 \right)}^{x}}>0

και με δεδομένο ότι ισχύει {{e}^{x}}-x-1\ge 0,\,\,x\in Rμε την ισότητα μόνο για x=0

(…σύμφωνα με τις φετινές οδηγίες του ΙΕΠ μπορεί να χρησιμοποιείται σαν θεωρία χωρίς απόδειξη..)

είναι {{\left( {{e}^{x}}-x-1 \right)}^{x}}>0 όταν x\in {{R}^{*}} επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το A=(-\infty ,\,\,0)\cup (0,\,\,+\infty )

β) Είναι f(x)=x\ln \left( {{e}^{x}}-x-1 \right) και \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,x\ln \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\ln \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)}{\frac{1}{x}}\underset{DLH}{\overset{\frac{\infty }{\infty }}{\mathop{=}}}\,

=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{{{e}^{x}}-1}{{{e}^{x}}-x-1}}{-\frac{1}{{{x}^{2}}}}=-\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}({{e}^{x}}-1)}{{{e}^{x}}-x-1}=0

γιατί \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{{{e}^{x}}-x-1}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2x}{{{e}^{x}}-1}\underset{DLH}{\overset{\frac{0}{0}}{\mathop{=}}}\,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{2}{{{e}^{x}}}=2

και \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{e}^{x}}-1)=0 επομένως η g είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της .

Τώρα εξετάζουμε αν είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο O(0,0)παίρνοντας το

\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f(0)}{x}=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\ln \left( {{e}^{x}}-x-1 \right)=-\infty

αφού \underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,({{e}^{x}}-x-1)=0,\,\,\,{{e}^{x}}>x+1,\,\,x>0 επομένως η g

δεν είναι παραγωγίσιμη στο x=0 επομένως ο ισχυρισμός δεν είναι αληθής για την αφού η μία από τις δύο προτάσεις του ισχυρισμοί είναι ψευδής.

...ώρα για μάθημα τώρα...
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Από εξετάσεις...

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Νοέμ 02, 2017 10:15 pm

συνεχίζω το γ να ξεκουρασθεί και ο Βασίλης.
Προφανώς δεν είναι 1-1.

Είναι g(-1)=1

g(1)=ln(e-2)\leq e-3< 0

g(100)=100ln(e^{100}-101)> 100ln(2^{100}-101)> 100

Από Bolzano υπάρχει c\in (1,100) με g(c)=1

Αφου g(-1)=g(c),c\neq 1

δεν είναι 1-1


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης