Μοναδικό κοινό σημείο

KARKAR · #1

Βρείτε θετικό αριθμό

, για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{x^3}{a}$ και : g(x)=-x^2+ax-15

, έχουν ένα μόνο κοινό σημείο .

Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε

abgd · #2

Ωραία άσκηση!

Ratio · #3

Με μελέτη συνάρτησης και όχι με σύστημα βρίσκω ότι $0<\alpha<\sqrt{15}$

KARKAR · #4

Ας λύσουμε πρώτα μιαν απλούστερη εκδοχή :

Βρείτε θετικό αριθμό

, για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{|x^3|}{a}$ και : g(x)=-x^2+ax-15

, έχουν ένα μόνο κοινό σημείο .

Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε

Christos.N · #5

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 02, 2019 12:39 pm Βρείτε θετικό αριθμό , για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{x^3}{a}$ και : , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο .

Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε

θεωρούμε

έχουμε $h'(x)=3\dfrac{x^2}{a}+2x+a \Rightarrow h'(x)=\frac{3}{a}(x-\frac{a}{3})(x+a)$

Εύκολα βρίσκουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα , τοπικό μέγιστο για x=-a

και τοπικό ελάχιστο για $x=\frac{a}{3}$

Προφανώς

...για να έχουμε μοναδική θέση μηδενισμού πρέπει το τοπικό ελάχιστο να είναι θετικό, δηλαδή

$h(\frac{a}{3})>0 \Leftrightarrow a^2<81 \Leftarrow 0<a<9$

Christos.N · #6

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 03, 2019 12:28 pm Ας λύσουμε πρώτα μιαν απλούστερη εκδοχή :

Βρείτε θετικό αριθμό , για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{|x^3|}{a}$ και : , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο .

Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε

Ας δούμε και την απλούστερη , θα ακολουθήσω ακριβώς ότι λέει η εκφώνηση.

Για a=9

έχω την εξίσωση $f(x)=g(x) \Leftrightarrow \dfrac{|x^3|}{9}=-x^2+9x-15$

Αν x<0

τότε $\dfrac{|x^3|}{9}=-x^2+9x-15\Leftrightarrow -\dfrac{x^3}{9}=-x^2+9x-15 \Leftrightarrow x^2(\frac{x}{9}-1)+9x-15=0$
αδύνατον για κάθε x<0

.

Αν $x\ge 0$ τότε $\dfrac{|x^3|}{9}=-x^2+9x-15\Leftrightarrow \dfrac{x^3}{9}=-x^2+9x-15 \Leftrightarrow (x-3)^2(\frac{1}{9}x+\frac{5}{3})=0$
μοναδική θετική λύση λοιπόν για x=3

.

Τελικά βρήκαμε έναν θετικό αριθμό , τον εννέα.

Edit: Καλύτερα το προηγούμενο να το διατύπωνα ως εξής "Τελικά βρήκαμε θετικό αριθμό , τον εννέα."

Να απευθύνω και εγώ ένα ερώτημα,

Ποιος είναι ο ελάχιστος θετικός αριθμός για τον οποίο οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{|x^3|}{a}$ και : , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

Ratio · #7

KARKAR έγραψε: Τρί Δεκ 03, 2019 12:28 pm Ας λύσουμε πρώτα μιαν απλούστερη εκδοχή :

Βρείτε θετικό αριθμό , για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{|x^3|}{a}$ και : , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο .

Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε

Λύθηκε με λάθος αντιγραφή , δεν είδα το $\left | x \right |^3$ αλλά το x^3

..

Al.Koutsouridis · #8

KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 02, 2019 12:39 pm Βρείτε θετικό αριθμό , για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{x^3}{a}$ και : , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο .

Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε

Παρόμοιες με του κ.Χρήστου παραπάνω ήταν και οι δικές μου σκέψεις.

Το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με το να βρούμε τα $a \neq 0$ για το οποία η εξίσωση f(x)-g(x) =0

έχει μοναδική λύση. Παρατηρούμε ότι αν για κάποιο

η εξίσωση

έχει μια λύση τότε αυτή θα είναι λύση και της εξίσωσης $\dfrac{1}{a^2} \left (f(x)-g(x) \right ) =0$ καθώς και το αντίστροφο. Άρα το πρόβλημα είναι ισοδύναμο με ο να βρούμε

για τα οποία η εξίσωση

$\dfrac{1}{a^2} \left (f(x)-g(x) \right ) = \dfrac{x^3}{a^3} +\dfrac{x^2}{a^2} -\dfrac{x}{a}+\dfrac{15}{a^2}=0$ έχει μοναδική λύση.

Θέτουμε $\dfrac{x}{a} =t$ . Η αλλαγή αυτή δημιουργεί ισοδύναμο πρόβλημα με το αρχικό αφού είναι 1-1

σχέση. Έτσι, ψάχνουμε τα $a \neq 0$ για τα οποία η εξίσωση

$t^3+t^2-t = -\dfrac{15}{a^2}$ έχει μοναδική λύση.

Μελετάμε την συνάρτηση h(t) = t^3+t^2-t

, ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. Η h(t)

έχει τοπικό μέγιστο $h_{max}=1$ στο σημείο x=-1

και τοπικό ελάχιστο $h_{min}= -\dfrac{5}{27}$ στο σημείο $x=\dfrac{1}{3}$ . Από την μονοτονία και τις παραπάνω τιμές των τοπικών ακροτάτων προκύπτει ότι θα υπάρχουν $t_{1} \in (-\infty , -1]$ για το οποίο θα ισχύει $h(t_{1})=-h_{min}$ και $t_{2} \in [\dfrac{1}{3}, +\infty)$ για το οποίο $h(t_{2}) =0$ .

Σε καθένα από τα διαστήματα $[t_{1}, -1]$ , $[-1, \dfrac{1}{3}]$ και $[\dfrac{1}{3}, t_{2}]$ η h(t)

είναι συνεχής. Για κάθε

που ικανοποιεί την $-\dfrac{15}{a^2} \geq h_{min}$ θα υπάρχει ένα τουλάχιστον $t_{0}$ για το οποίο $h(t_{0})=\eta =-\dfrac{15}{a^2}$ . Δηλαδή στο διάστημα $[t_{1}, t_{2}]$ υπάρχουν τουλάχιστον τρεις λύσεις. Για $t \geq t_{2}$ θα είναι $h(t) \geq 0$ , άρα δεν θα υπάρχουν τέτοια

.

Αν $t \in (-\infty, t_{1})$ θα είναι $h(t) < h(t_{1})=h_{min}$ και λόγο της μονοτονίας για κάθε $\eta < - h_{min}$ θα υπάρχει μοναδικό $t_{0}$ για το οποίο $h(t_{0})=\eta$ .

Άρα για να υπάρχει μοναδική λύση της εξίσωσης θα πρέπει $-\dfrac{15}{a^2} < -\dfrac{5}{27} \Leftrightarrow 0< |a| <9$ .

KARKAR · #9

Ξεκινάμε από την απλή εκδοχή : Για a>0

, η συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{|x^3|}{a}$ , είναι κυρτή και δεν παίρνει

αρνητικές τιμές . Αντίθετα η g(x)=-x^2+ax-15

, είναι κοίλη και δεν έχει αρνητικές ρίζες .

Συνεπώς οι $C_{f} , C_{g}$ , αν έχουν κοινό σημείο , αυτό θα έχει θετική τετμημένη .

Θεωρούμε γνωστό ότι μία κυρτή και μία κοίλη συναρτήσεις , έχουν δύο , ένα ή κανένα κοινά σημεία .

Για να έχουν μόνο ένα , πρέπει και αρκεί να υπάρχει

( εδώ θετικό ) για το οποίο να ισχύουν :

f(x)=g(x)

και :

. Αυτά οδηγούν στο σύστημα : x^3=a(-x^2+ax-15)

και :

. Η μοναδική δεκτή λύση αυτού του συστήματος , είναι η : a=9 , x=3

.

Στο σημείο αυτό ζητούσα να φανεί η επίλυση του συστήματος , κάτι που αναμένω ακόμη

.

Μπορούμε τώρα να δούμε ότι για a>9

, έχουμε δύο σημεία τομής , ενώ για 0<a<9

κανένα .

Βγάζοντας τώρα την απόλυτη τιμή από τον τύπο της

, αυτόματα έχουμε κοινό σημείο, με αρνητική

τετμημένη (γιατί ; ) Συνεπώς πρέπει να πάρουμε το

μικρότερο του

, δηλαδή : 0<a<9

.

Υπήρξαν ενστάσεις για το αν η αρχική εκφώνηση ήταν δόκιμη , αν δηλαδή το "βρείτε θετικό

, ώστε : "

θα μπορούσε να παραπλανήσει τον λύτη . Η ένσταση έχει κάποια βάση , παρά ταύτα νομίζω ότι και

η αρχική εκφώνηση "στέκεται " .

Christos.N · #10

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 04, 2019 1:29 pm
Για να έχουν μόνο ένα , πρέπει και αρκεί να υπάρχει ( εδώ θετικό ) για το οποίο να ισχύουν :

και : .

γιατί; δηλαδή γιατί πρέπει να "εφάπτονται" στο σημείο;

abgd · #11

Για να μην μπερδευόμαστε!...όταν έλεγα ότι είναι καλή άσκηση είχα υπόψιν μου αυτό:

Christos.N έγραψε: Τρί Δεκ 03, 2019 1:09 pm
KARKAR έγραψε: Δευ Δεκ 02, 2019 12:39 pm Βρείτε θετικό αριθμό , για τον οποίον οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων :

$f(x)=\dfrac{x^3}{a}$ και : , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο .

Αν χρειαστεί να λύσετε σύστημα , πρέπει να δείξετε ακριβώς πως το λύσατε
θεωρούμε έχουμε $h'(x)=3\dfrac{x^2}{a}+2x+a \Rightarrow h'(x)=\frac{3}{a}(x-\frac{a}{3})(x+a)$

Εύκολα βρίσκουμε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει δύο τοπικά ακρότατα , τοπικό μέγιστο για και τοπικό ελάχιστο για $x=\frac{a}{3}$

Προφανώς ...για να έχουμε μοναδική θέση μηδενισμού πρέπει το τοπικό ελάχιστο να είναι θετικό, δηλαδή

$h(\frac{a}{3})>0 \Leftrightarrow a^2<81 \Leftarrow 0<a<9$

abgd · #12

Christos.N έγραψε: Τετ Δεκ 04, 2019 1:51 pm
KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 04, 2019 1:29 pm
Για να έχουν μόνο ένα , πρέπει και αρκεί να υπάρχει ( εδώ θετικό ) για το οποίο να ισχύουν :

και : .
γιατί; δηλαδή γιατί πρέπει να "εφάπτονται" στο σημείο;

Έχουμε δηλαδή το πρόβλημα:

Αν οι συναρτήσεις f,g

είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ , έτσι ώστε η $f^{\prime}$ να είναι γνησίως αύξουσα, και η $g^{\prime}$ γνησίως φθίνουσα τότε:

α. Οι γραφικές τους παραστάσεις μπορούν να έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.

β. Στην περίπτωση που οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο να εξετάσετε αν "εφάπτονται"

Απάντηση

α. Για την h: h=f-g

ισχύει ότι η $h^{\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα και δεν μπορεί να έχει δύο άνισες ρίζες.

Αν οι γραφικές παραστάσεις των f, g

είχαν τρία διαφορετικά κοινά σημεία τότε, από Rolle, η $h^{\prime}$ θα είχε δύο άνισες ρίζες - άτοπο.

β. Όχι. Παράδειγμα: οι συναρτήσεις $f(x)=e^x, \ \ x \in \mathbb{R}$ και $g(x)=2-e^x, \ \ x \in \mathbb{R}$

abgd · #13

abgd έγραψε: Τετ Δεκ 04, 2019 9:48 pm

Έχουμε δηλαδή το πρόβλημα:

Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ , έτσι ώστε η $f^{\prime}$ να είναι γνησίως αύξουσα, και η $g^{\prime}$ γνησίως φθίνουσα τότε:

α. Οι γραφικές τους παραστάσεις μπορούν να έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.

β. Στην περίπτωση που οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο να εξετάσετε αν "εφάπτονται"

Απάντηση

α. Για την ισχύει ότι η $h^{\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα και δεν μπορεί να έχει δύο άνισες ρίζες.

Αν οι γραφικές παραστάσεις των είχαν τρία διαφορετικά κοινά σημεία τότε, από Rolle, η $h^{\prime}$ θα είχε δύο άνισες ρίζες - άτοπο.

β. Όχι. Παράδειγμα: οι συναρτήσεις $f(x)=e^x, \ \ x \in \mathbb{R}$ και $g(x)=2-e^x, \ \ x \in \mathbb{R}$

Συνεχίζοντας το β.... Αν τώρα υποθέσουμε ότι η

είναι πολυώνυμο και x_0

η τετμημένη του μοναδικού σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων των f,g

τότε:

και αν υποθέσουμε ότι $p(x_0) \ne 0$ τότε $p(x) \ne 0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ και έτσι η

θα είναι πολυώνυμο περιττού βαθμού. Συνεπώς η $h^{\prime}$ θα είναι πολυώνυμο άρτιου βαθμού κάτι που, (μπορεί να δειχθεί εύκολα

), είναι αδύνατο αφού η $h^{\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα. Τελικά θα πρέπει p(x_0)= 0

οπότε

και $h^{\prime}(x_0)=0$ .
Άρα
στην περίπτωση που η

είναι πολυώνυμο τότε οι γραφικές τους παραστάσεις των f,g

"εφάπτονται"

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #14

abgd έγραψε: Τετ Δεκ 04, 2019 11:04 pm
abgd έγραψε: Τετ Δεκ 04, 2019 9:48 pm

Έχουμε δηλαδή το πρόβλημα:

Αν οι συναρτήσεις είναι παραγωγίσιμες στο $\mathbb{R}$ , έτσι ώστε η $f^{\prime}$ να είναι γνησίως αύξουσα, και η $g^{\prime}$ γνησίως φθίνουσα τότε:

α. Οι γραφικές τους παραστάσεις μπορούν να έχουν το πολύ δύο κοινά σημεία.

β. Στην περίπτωση που οι γραφικές τους παραστάσεις έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο να εξετάσετε αν "εφάπτονται"

Απάντηση

α. Για την ισχύει ότι η $h^{\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα και δεν μπορεί να έχει δύο άνισες ρίζες.

Αν οι γραφικές παραστάσεις των είχαν τρία διαφορετικά κοινά σημεία τότε, από Rolle, η $h^{\prime}$ θα είχε δύο άνισες ρίζες - άτοπο.

β. Όχι. Παράδειγμα: οι συναρτήσεις $f(x)=e^x, \ \ x \in \mathbb{R}$ και $g(x)=2-e^x, \ \ x \in \mathbb{R}$
Συνεχίζοντας το β.... Αν τώρα υποθέσουμε ότι η είναι πολυώνυμο και η τετμημένη του μοναδικού σημείου τομής των γραφικών παραστάσεων των τότε: και αν υποθέσουμε ότι $p(x_0) \ne 0$ τότε $p(x) \ne 0, \ \ \forall x \in \mathbb{R}$ και έτσι η θα είναι πολυώνυμο περιττού βαθμού. Συνεπώς η $h^{\prime}$ θα είναι πολυώνυμο άρτιου βαθμού κάτι που, (μπορεί να δειχθεί εύκολα ), είναι αδύνατο αφού η $h^{\prime}$ είναι γνησίως αύξουσα. Τελικά θα πρέπει οπότε και $h^{\prime}(x_0)=0$ .
Άρα
στην περίπτωση που η είναι πολυώνυμο τότε οι γραφικές τους παραστάσεις των "εφάπτονται"

$f(x)=x^{3},g(x)=-x$

abgd · #15

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Πέμ Δεκ 05, 2019 10:29 am $f(x)=x^{3},g(x)=-x$

Σταύρο,
Δεν καταλαβαίνω... τι θέλεις να πεις;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #16

abgd έγραψε: Πέμ Δεκ 05, 2019 11:56 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Πέμ Δεκ 05, 2019 10:29 am $f(x)=x^{3},g(x)=-x$
Σταύρο,
Δεν καταλαβαίνω... τι θέλεις να πεις;

Η

έχει γνησίως αύξουσα παράγωγο .
Η

έχει γνησίως φθίνουσα παράγωγο.
Η f(x)=g(x)

έχει μοναδική ρίζα το

και δεν εφάπτονται εκεί.
Αν δεν μου ξεφεύγει κάτι απαντάω στο ερώτημα σου.

abgd · #17

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Πέμ Δεκ 05, 2019 12:32 pm
abgd έγραψε: Πέμ Δεκ 05, 2019 11:56 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Πέμ Δεκ 05, 2019 10:29 am $f(x)=x^{3},g(x)=-x$
Σταύρο,
Δεν καταλαβαίνω... τι θέλεις να πεις;
Η έχει γνησίως αύξουσα παράγωγο .
Η έχει γνησίως φθίνουσα παράγωγο.
Η έχει μοναδική ρίζα το
και δεν εφάπτονται εκεί.
Αν δεν μου ξεφεύγει κάτι απαντάω στο ερώτημα σου.

Αν κατάλαβα καλά... εννοείς ότι: οι συναρτήσεις $f(x)=x^{3},g(x)=-x$ ,

οι οποίες έχουν παραγώγους: $f^{\prime}(x)=3x^{2},g^{\prime}(x)=-1$ ,

έχουν γνησίως αύξουσα $f^{\prime}$ και γνησίως φθίνουσα $g^{\prime}$ ;

Δηλαδή... η συνάρτηση $f^{\prime}(x)=3x^2$ είναι γνησίως αύξουσα!! και η $g^{\prime}(x)=-1$ είναι γνησίως φθίνουσα!!!

...

Τι μου κρύβετε;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #18

abgd έγραψε: Πέμ Δεκ 05, 2019 5:01 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Πέμ Δεκ 05, 2019 12:32 pm
abgd έγραψε: Πέμ Δεκ 05, 2019 11:56 am
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Πέμ Δεκ 05, 2019 10:29 am $f(x)=x^{3},g(x)=-x$
Σταύρο,
Δεν καταλαβαίνω... τι θέλεις να πεις;
Η έχει γνησίως αύξουσα παράγωγο .
Η έχει γνησίως φθίνουσα παράγωγο.
Η έχει μοναδική ρίζα το
και δεν εφάπτονται εκεί.
Αν δεν μου ξεφεύγει κάτι απαντάω στο ερώτημα σου.

Αν κατάλαβα καλά... εννοείς ότι: οι συναρτήσεις $f(x)=x^{3},g(x)=-x$ ,

οι οποίες έχουν παραγώγους: $f^{\prime}(x)=3x^{2},g^{\prime}(x)=-1$ ,

έχουν γνησίως αύξουσα $f^{\prime}$ και γνησίως φθίνουσα $g^{\prime}$ ;

Δηλαδή... η συνάρτηση $f^{\prime}(x)=3x^2$ είναι γνησίως αύξουσα!! και η $g^{\prime}(x)=-1$ είναι γνησίως φθίνουσα!!!

... Τι μου κρύβετε;

Τίποτα.Απλα την πάτησα.
Αγνόησε το....

KARKAR · #19

Είναι φανερό ότι η τοποθέτηση του θέματος αυτού σε φάκελο Λυκείου , ήταν άστοχη

Παρά ταύτα , το λήμμα : "Μία κυρτή και μία κοίλη συναρτήσεις , έχουν δύο , ένα ή κανένα κοινά σημεία "

ισχύει , όπως απεδείχθη κομψότατα από τον abgd

παραπάνω . Το λήμμα :

"Αν μία κυρτή και μία κοίλη συναρτήσεις , έχουν ένα μόνο κοινό σημείο , τότε αυτό θα είναι σημείο επαφής"

δεν ισχύει γενικά , ισχύει όμως για τις συναρτήσεις της εκφώνησης ( η

με την απόλυτη τιμή )

και γενικότερα για πολυωνυμικές συναρτήσεις αλλά και πάρα πολλές άλλες .

Θεωρώντας το πρόβλημα ενδιαφέρον άνοιξα σχετικό θέμα , εδώ

στο οποίο , μπορείτε να παρεμβαίνετε με παρατηρήσεις ή λύσεις ...

Al.Koutsouridis · #20

KARKAR έγραψε: Πέμ Δεκ 05, 2019 8:02 pm Είναι φανερό ότι η τοποθέτηση του θέματος αυτού σε φάκελο Λυκείου , ήταν άστοχη

Γιατί άστοχη, μια χαρά το βρίσκω το πρόβλημα.

Μοναδικό κοινό σημείο

Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Re: Μοναδικό κοινό σημείο

Μέλη σε σύνδεση