Ασυμπτωτικώς (επίρρημα)

KARKAR · #1

$\bigstar$ Δίνεται η συνάρτηση : $f(x)=\left\{\begin{matrix} \dfrac{xe^x}{e^x-1} & x\neq 0\\ a& x=0 \end{matrix}\right.$

α) Υπάρχει τιμή του

, η οποία να καθιστά την

συνεχή ;

β) Βρείτε τις ασύμπτωτες της $C_{f}$

#2

α) Ναι , το $\displaystyle a=1$ , αφού $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{e}^{x}}}{{{e}^{x}}-1}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{x}}}{\frac{{{e}^{x}}-1}{x}}=1$
β) Η ευθεία $\displaystyle y=x$ είναι ασύμπτωτη στο $\displaystyle +\infty$ , αφού

$\displaystyle \begin{array}{l} f(x) = \frac{{x{e^x}}}{{{e^x} - 1}} = \frac{{x{e^x} - x + x - 1}}{{{e^x} - 1}} = \frac{{x({e^x} - 1) + x - 1}}{{{e^x} - 1}} = \\ = x + \frac{{x - 1}}{{{e^x} - 1}} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {f(x) - x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 1}}{{{e^x} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{e^x}}} = 0 \end{array}$
Επίσης
$\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{1-{{e}^{-x}}}=\underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-u}{1-{{e}^{u}}}=\underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{-{{e}^{u}}}=0$
Άρα η $\displaystyle y=0$ είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο $\displaystyle -\infty$
Κατακόρυφες δεν υπάρχουν , ανεξαρτήτως της τιμής του $\displaystyle a$ , αφού είναι συνεχής για $\displaystyle x\ne 0$ κι ακόμα $\displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f(x)=1$

Ασυμπτωτικώς (επίρρημα)

Ασυμπτωτικώς (επίρρημα)

Re: Ασυμπτωτικώς (επίρρημα)

Μέλη σε σύνδεση