Με απλά υλικά (26)

Συντονιστής: KAKABASBASILEIOS

Άβαταρ μέλους
exdx
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1539
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Με απλά υλικά (26)

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από exdx » Δευ Αύγ 31, 2020 9:29 am

Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης \displaystyle f .
Πόσες λύσεις έχει η εξίσωση \displaystyle |f({x^3} -3 x)| = \frac{3}{2} ;
Συνημμένα
graph.png
graph.png (6.72 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές


Kαλαθάκης Γιώργης

Λέξεις Κλειδιά:
Μάρκος Βασίλης
Δημοσιεύσεις: 284
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 31, 2019 5:47 pm
Τοποθεσία: Καισαριανή
Επικοινωνία:

Re: Με απλά υλικά (26)

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μάρκος Βασίλης » Δευ Αύγ 31, 2020 11:48 am

Αρχικά, παρατηρούμε ότι η εξίσωση |f(u)|=\frac{3}{2} έχει τέσσερις λύσεις, x_1,x_2,x_3,x_4 με:

\displaystyle{x_1<-2<x_2<0<x_3<2<x_4.}

Τώρα, για τη συνάρτηση g(x)=x^3-3x παρατηρούμε ότι g'(x)=3(x^2-1) επομένως η g παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο 1 το g(1)=-2 και τοπικό μέγιστο στο -1 το g(-1)=2. Έτσι, παρατηρούμε ότι:

1. g((-\infty,-1])=(-\infty,2]
2. g((-1,1])=[-2,2)
3. g((1,+\infty))=(-2,+\infty)

Έτσι, η g παίρνει κάθε τιμή στο (-2,2) ακριβώς τρεις φορές και κάθε τιμή στο (-\infty,-2)\cup(2,+\infty) ακριβώς μία φορά - ενώ τις τιμές 2,-2 τις παίρνει ακριβώς δύο φορές.

Έτσι η g παίρνει τις τιμές x_1,x_4 από μία φορά και τις τιμές x_2,x_3 από τρεις φορές, άρα έχουμε συνολικά 1+1+3+3=8 ρίζες.


\textcolor{blue}{\forall after-maths}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Bing [Bot] και 2 επισκέπτες