Ύπαρξη μεγίστου

#1

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle f$ , δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle [0,+\infty )$ με $\displaystyle f(0)=0$ και $\displaystyle f(x)>0$ για κάθε $\displaystyle x>0$ .
Αν η $\displaystyle f$ έχει μοναδικό σημείο καμπής για $\displaystyle x=a>0$ και $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ ,
να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle b\in (0,a)$ στο οποίο παίρνει τη μέγιστη τιμή της .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

exdx έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 12, 2020 10:47 am
Έστω η συνάρτηση $\displaystyle f$ , δύο φορές παραγωγίσιμη στο $\displaystyle [0,+\infty )$ με $\displaystyle f(0)=0$ και $\displaystyle f(x)>0$ για κάθε $\displaystyle x>0$ .
Αν η $\displaystyle f$ έχει μοναδικό σημείο καμπής για $\displaystyle x=a>0$ και $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ ,
να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle b\in (0,a)$ στο οποίο παίρνει τη μέγιστη τιμή της .

Νομίζω ότι είναι πολύ βαρεία για Λύκειο.
Για το μέγιστο χρειάζονται μόνο

ορισμένη στο
$\displaystyle [0,+\infty )$ συνεχής
με $\displaystyle f(0)=0$ , $\displaystyle f(x)>0$ για κάθε $\displaystyle x>0$
και $\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ .

Υπάρχουν διάφορη τρόποι.

Ενας είναι.
Θεωρούμε την $\displaystyle g(x)=f(-\ln x),0<x\leq 1,g(0)=0$
Η

είναι συνεχής στο [0,1]

και επειδή
g(0)=g(1)=0,g(x)> 0

παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα
$x_{0}\in (0,1)$

Ετσι η

παίρνει μέγιστη τιμή στο $b=-\ln x_0$
και είναι f'(b)=0

Αν $b\geq a$
τότε στο $[b,\infty )$
εχουμε τις περιπτώσεις

1) η

γνησίως αύξουσα .
Θα είναι f'(x)>0

για

ΑΤΟΠΟ λόγω του
$\displaystyle \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=0$ .

2) η

γνησίως φθίνουσα
Η

θα είναι κοίλη και θα υπάρχει

με

Θα έχουμε τότε για x>c

$f(x)\leq f(c)+f'(c)(x-c)$

παίρνοντας όριο στο $\infty$ έχουμε ΑΤΟΠΟ.

Αρα είναι $\displaystyle b\in (0,a)$ .

Υπάρχουν και άλλες λύσεις.
Από αυτές που γνωρίζω είναι η πιο σύντομη.

#3

Για να κάνω το θέμα πιο διδακτικό και να αποφυγω το ουρανοκατέβατο $\displaystyle{f(-lnx)}$ ,όμορφο έμως ε?!!,
και θα δώσω μια λύση πιστεύω πιο φυσιολογική αλλά οχι τόσο όμορφη

Πρώτη ματιά ΜΑΧ και παράγωγοι. Βρωμάει κριτήριο Β παραγώγου που απαιτεί ρίζα της 1ης παραγώγου και πρόσημα της 2ης

Δεύτερη ματιά Ρίζα της $\displaystyle{f'}$ το πιο κοινό είναι Rolle

Τρίτη ματιά Τι λείπει εδω? Το $\displaystyle{f(u)=f(v)}$ κοιτάξτε πως θα το εξασφαλίσουμε αυστηρά Οι ιδέες είναι κατά βάση γεωμετρικές + λίγο εις άτοπο απαγωγή
Αν $\displaystyle{f(x)>f(b)>0}$ για κάθε $\displaystyle{x>b}$ άτοπο λόγω ορίου.. Άρα υπάρχει $\displaystyle{c>b : f(c)<f(b). }$
Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών στο $\displaystyle{[0,b]}$ . Υπάρχει d στο $\displaystyle{(0,b) : f(d)=f(c) }$ . Rolle

Εδώ δεν την πατήσαμε μήπως είναι δυνατόν $\displaystyle{d=c}$ διοτι $\displaystyle{d<b<c}$
εξασφαλίσαμε έτσι κρίσιμο σημείο $\displaystyle{\xi : f'(\xi)=0 ,d<\xi<c}$

Τέταρτη ματιά Δεν έχουμε λάβει υπόψη το ΣΚ που παραπέμπει σε κυρτότητα Δεν υπάρχει θεώρημα για την μοναδικότητα του ΣΚ απλά αυτό σημαίνει οτι η $\displaystyle{f}$ αλλάζει απο 1) κυρτή σε κοιλη ή 2) ανάποδα

Πέμπτη ματιά Αν προσπαθήσετε να σχεδιάσετε αυτές τις πληροφορίες θα δείτε οτι στο 1) κατι δεν πάει καλά

Έκτη ματιά Τώρα αυστηράΕχουμε $\displaystyle{f(\xi)>0}$ Aν $\displaystyle{f \uparrow x>\xi}$ τοτε $\displaystyle{f(x)>f(\xi)}$ δεν είναι δυνατόν λόγω του δοσμένου ορίου
Αρα υπάρχει $\displaystyle{u>\xi:f(u)<f(\xi)}$ ή απο το ΘΜΤ $\displaystyle{f'(v)<0}$

Eβδομη ματιά Τώρα Μπλέξαμε τι θέλουμε το $\displaystyle{f'(v)<0}$ φαίνεται μάλον άχρηστο

Ογδοη ματιά Καθόλου Τι θα αναγκάσει την $\displaystyle{f}$ να κόψει τον άξονα χ και να καταλήξουμε σε άτοπο?
Βέβαια η εφαπτομένη και η κοιλότητα και αν το ΣΚ βρίσκεται πριν το κρίσιμο σημείο η $\displaystyle{f}$ η εφαπτομένη στο v εχει κλίση <0 και η $\displaystyle{f}$ είναι κοιλη αρα κατω απο την εφαπτομένη της που παιρνει τιμες<0 αρα και η $\displaystyle{f}$ άτοπο

Σχεδιάζοντας τις ιδέες
θα ακολουθήσουν 3 ακόμη περιπτώσεις μάλλον ανιαρές αφου αντιμετωπίζονται με παρόμοιο τρόπο

Ενατη ματια Αν το κρίσημο σημείο βρίσκεται πριν το ΣΚ τοτε για $\displaystyle{x<\xi }$ είναι $\displaystyle{f'(x)<0}$ οπότε για $\displaystyle{x>0}$ είναι $\displaystyle{f(x)<0}$ άτοπο

Δεκατη ματια (Επιτέλους)Η $\displaystyle{f}$ είναι κοίλη και μετά κυρτή. Αν το ΣΚ βρίσκεται πριν το κρίσιμο $\displaystyle{f'(SK)>0,f'(x_{SK})<0,f'(x)<0}$ συνεπώς $\displaystyle{x>0,f(x)<0}$ άτοπο

Ενδεκάτη ματια Η $\displaystyle{f}$ κοίλη και μετά κυρτή. Αν το ΣΚ βρίσκεται μετά το κρίσιμο τότε $\displaystyle{f''<0,0<x<x_{SK}}$ αρα $\displaystyle{f''(\xi)<0}$ αρα $\displaystyle{f(\xi)=Max}$

Ύπαρξη μεγίστου

Ύπαρξη μεγίστου

Re: Ύπαρξη μεγίστου

Re: Ύπαρξη μεγίστου

Μέλη σε σύνδεση