Εντυπωσιακό όριο

KARKAR · #1

: Εντυπωσιακό όριο.png (8.45 KiB) Προβλήθηκε 899 φορές

Για κάθε

, ορίζουμε την συνάρτηση : f(x)=a^x

. Από το

φέρουμε το εφαπτόμενο

προς την $C_{f}$ , τμήμα

. Υπολογίστε ( και ασφαλώς εκπλαγείτε ! ) , το $\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}(OS)$ .

#2

Εύκολα βρίσκουμε ότι το σημείο επαφής

έχει τετμημένη : $\boxed{x = \frac{1}{{\ln a}}}$ .

Έτσι : $OS = f\left( a \right) = \sqrt {{x^2} + {a^{2x}}} = \sqrt {\dfrac{1}{{{{\ln }^2}a}} + {e^2}}$ και άρα

$\boxed{\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } f\left( a \right) = e}$

Christos.N · #3

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#4

KARKAR έγραψε: Σάβ Νοέμ 14, 2020 10:33 am Εντυπωσιακό όριο.pngΓια κάθε , ορίζουμε την συνάρτηση : . Από το φέρουμε το εφαπτόμενο

προς την $C_{f}$ , τμήμα . Υπολογίστε ( και ασφαλώς εκπλαγείτε ! ) , το $\lim\limits_{a\rightarrow+\infty}(OS)$ .

Επανέρχομαι γιατί το σύμβολο έχει εκχωρηθεί από τον φίλτατο στην συνάρτηση $f(x) = {a^x}\,\,,a > 1$ .

Εύκολα βρίσκουμε ότι το σημείο επαφής

έχει τετμημένη : $\boxed{x = \frac{1}{{\ln a}}}$ .

Έτσι : $OS = g\left( a \right) = \sqrt {{x^2} + {a^{2x}}} = \sqrt {\dfrac{1}{{{{\ln }^2}a}} + {e^2}}$ και άρα

$\boxed{\mathop {\lim }\limits_{a \to + \infty } g\left( a \right) = e}$

Εντυπωσιακό όριο

Εντυπωσιακό όριο

Re: Εντυπωσιακό όριο

Re: Εντυπωσιακό όριο

Re: Εντυπωσιακό όριο

Μέλη σε σύνδεση