Παράγωγος

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{f \left ( xy \right ) = \frac{f(x)}{y} + \frac{f(y)}{x} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x , y >0}$
Αν f'(1)=1

τότε να δειχθεί ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ .

#2

$\displaystyle{\frac{f(x_0h)-f(x_0)}{x_0h-x_0}=\frac{\frac{f(x_0)}{h}+\frac{f(h)}{x_0}-f(x_0)}{x_0h-x_0}=-f(x_0)\frac{1}{x_0h}+\frac{f(h)-f(1)}{x_0^2(h-1)}}$ αφού για $\displaystyle{x=y=1}$ παίρνουμε $\displaystyle{f(1)=f(1)+f(1)}$ οπότε $\displaystyle{f(1)=0}$
τότε
$\displaystyle{f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{h\to 1}\frac{f(x_0h)-f(x_0)}{x_0h-x_0}=-f(x_0)\frac{1}{x_0}+f'(1)\frac{1}{x_0^2}}$ διοτι θέσαμε $\displaystyle{x/x_0=h}$

ωστε $\displaystyle{f'(x)=-\frac{1}{x}f(x)+\frac{1}{x^2}\Rightarrow xf'(x)+f(x)=1/x \Rightarrow xf(x)=lnx+c}$ με $\displaystyle{c=0}$ αφου $\displaystyle{f(1)=0}$ συνεπως

$\displaystyle{f(x)=\frac{lnx}{x},x>0}$

Tolaso J Kos · #3

Βγάζω $\displaystyle{f'(x_0) = \frac{1}{x_0^2} + \frac{f(x_0)}{x_0}}$ . ( Ροδόλφε , έχουμε διαφορά στο πρόσημο ).

$\displaystyle{\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0} &\overset{h=\frac{x}{x_0}}{=\! =\! =\! =\! =\! =\!} \lim_{h \rightarrow 1} \frac{f(x_0 h) - f(x_0)}{h x_0 -x_0} \\ &= \lim_{h \rightarrow 1} \frac{\frac{f(x_0)}{h} + \frac{f(h)}{x_0} - f(x_0)}{x_0 \left ( h -1 \right )} \\ &= \lim_{h \rightarrow 1} \frac{\frac{x_0 f(x_0)}{hx_0} + \frac{h f(h)}{h x_0} - \frac{h x_0 f(x_0)}{hx_0}}{x_0 \left ( h-1 \right )} \\ &= \lim_{h \rightarrow 1} \frac{x_0 f(x_0) + h f(h) - h x_0 f(x_0)}{h x_0^2 \left ( h-1 \right )} \\ &= \lim_{h \rightarrow 1} \frac{h f(h) - x_0 f(x_0) \left ( 1-h \right )}{h x_0^2 \left ( h-1 \right )} \\ &= \lim_{h \rightarrow 1} \frac{h f(h) + x_0 f(x_0) \left ( h-1 \right ) }{h x_0^2 (h-1)} \\ &= \lim_{h \rightarrow 1} \frac{h f(h) - h f(1) +x_0 f(x_0) \left ( h-1 \right ) }{h x_0^2 (h-1)} \\ &= \lim_{h \rightarrow 1} \left (\frac{h \left ( f(h) - f(1) \right )}{h x_0^2 \left ( h-1 \right )} + \frac{x_0 f(x_0) \left ( h-1 \right )}{h x_0^2 \left ( h-1 \right )} \right ) \\ &= \frac{f'(1)}{x_0^2} + \frac{f(x_0)}{x_0} \\ &= \frac{1}{x_0^2} + \frac{f(x_0)}{x_0} \end{aligned}}$
διότι f(1)=0

.

#4

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Φεβ 19, 2021 7:52 pm Βγάζω $\displaystyle{f'(x_0) = \frac{1}{x_0^2} + \frac{f(x_0)}{x_0}}$ . ( Ροδόλφε , έχουμε διαφορά στο πρόσημο ).

Δες εδώ:

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Φεβ 19, 2021 7:52 pm $\displaystyle{ \lim_{h \rightarrow 1} \frac{x_0 f(x_0) + h f(h) - h x_0 f(x_0)}{h x_0^2 \left ( h-1 \right )} }$
$\displaystyle{= \lim_{h \rightarrow 1} \frac{h f(h) - x_0 f(x_0) \left ( 1-h \right )}{h x_0^2 \left ( h-1 \right )} }$

Tolaso J Kos · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Φεβ 19, 2021 10:04 pm
Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Φεβ 19, 2021 7:52 pm Βγάζω $\displaystyle{f'(x_0) = \frac{1}{x_0^2} + \frac{f(x_0)}{x_0}}$ . ( Ροδόλφε , έχουμε διαφορά στο πρόσημο ).
Δες εδώ:

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Φεβ 19, 2021 7:52 pm $\displaystyle{ \lim_{h \rightarrow 1} \frac{x_0 f(x_0) + h f(h) - h x_0 f(x_0)}{h x_0^2 \left ( h-1 \right )} }$
$\displaystyle{= \lim_{h \rightarrow 1} \frac{h f(h) - x_0 f(x_0) \left ( 1-h \right )}{h x_0^2 \left ( h-1 \right )} }$

Σωστά!

#6

Tolaso J Kos έγραψε: Παρ Φεβ 19, 2021 2:08 pm Έστω $f:(0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοια ώστε

$\displaystyle{f \left ( xy \right ) = \frac{f(x)}{y} + \frac{f(y)}{x} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x , y >0}$
Αν τότε να δειχθεί ότι η είναι παραγωγίσιμη στο $(0, +\infty)$ .

Ένας εύκολος τρόπος να λύσουμε την άσκηση είναι να θέσουμε $g(x)=e^xf(e^x)\, (*)$ . Έπεται τότε ότι g(x+y) = g(x)+g(y)

, που είναι η συναρτησιακή σχέση Cauchy. Τώρα, με χρήση της f'(1)=1

(δίνεται) και της f(1)=1

(άμεση από την συναρτησιακή) συμπεραίνουμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη στο

, οπότε από γνωστή ιδιότητα της συναρτησιακής Cauchy, έπεται g(x)=x

. Είναι τώρα άμεσο ότι η

παραγωγίζεται και μάλιστα από την (*)

είναι

$1=g'(x)= e^xf(e^x)+e^{2x}f'(e^x)$

Από εκεί βγάινουν διάφορα συμπεράσματα, π.χ. πόση είναι η f'(e^x)

και άρα (με $x=\ln t$ ) η f'(t)

.

Παράγωγος

Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Re: Παράγωγος

Μέλη σε σύνδεση