Τομή εφαπτομένων

KARKAR · #1

: Τομή εφαπτομένων.png (8.05 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Η καμπύλη είναι η παραβολή f(x)=x^2

. Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής

των εφαπτομένων στα σημεία A , B

( συναρτήσει των συντεταγμένων των A , B

) .

Το επιπλέον ζητούμενο είναι ένα σχόλιο για τα αποτελέσματα .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 26, 2021 12:12 pm Τομή εφαπτομένων.pngΗ καμπύλη είναι η παραβολή . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής

των εφαπτομένων στα σημεία ( συναρτήσει των συντεταγμένων των ) .

Το επιπλέον ζητούμενο είναι ένα σχόλιο για τα αποτελέσματα .

Έστω $A\left( {a,{a^2}} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\left( {b,{b^2}} \right)$ . Η εφαπτομένη στο

έχει εξίσωση: $y = f\left( a \right) + f'\left( a \right)\left( {x - a} \right) \Leftrightarrow y = 2ax - {a^2}$ και ομοίως στο

: $y = 2bx - {b^2}$ .

Από το σύστημά τους έχω: $\left\{ \begin{gathered} x = \frac{{a + b}}{2} \hfill \\ y = ab \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Σχόλιο κανένα..

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 26, 2021 12:12 pm Τομή εφαπτομένων.pngΗ καμπύλη είναι η παραβολή . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής

των εφαπτομένων στα σημεία ( συναρτήσει των συντεταγμένων των ) .

Το επιπλέον ζητούμενο είναι ένα σχόλιο για τα αποτελέσματα .

Λύνεται και με ύλη κατεύθυνσης Β' Λυκείου, από τον τύπο της εφαπτομένης: $\displaystyle x{x_1} = p(y + {y_1})$ με $p=\dfrac{1}{2}.$

Έτσι αν $\displaystyle A(a,{a^2}),B(b,{b^2}), S(x,y)$ θα είναι $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} y = 2ax - {a^2}\\ y = 2bx - {b^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow$ $\boxed{S\left( {\frac{{a + b}}{2},ab} \right)}$

Σχόλιο: Η τετμημένη του

είναι ο αριθμητικός μέσος των a,b

και η τεταγμένη το τετράγωνο του γεωμετρικού τους μέσου.

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Φεβ 26, 2021 12:12 pm Τομή εφαπτομένων.pngΗ καμπύλη είναι η παραβολή . Βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής

των εφαπτομένων στα σημεία ( συναρτήσει των συντεταγμένων των ) .

Το επιπλέον ζητούμενο είναι ένα σχόλιο για τα αποτελέσματα .

Όταν ήμουν μαθητής, που παράλληλα με το Ελληνικό σχολείο διάβαζα και την ύλη για εισαγωγή σε Αγγλικό Πανεπιστήμιο (τα λεγόμενα GCE), η παραπάνω (μάλιστα σε κάπως γενικότερη μορφή) ήταν γνωστή ως στάνταρ ιδιότητα που μπορούσαμε να την χρησιμοποιούμε στις ασκήσεις χωρίς αιτιολογία. Στο ίδιο το βιβλίο ήταν άμεσο πόρισμα της εξίσωσης της εφαπτομένης δευτεροβάθμιας καμπύλης σε μορφή που για κάποιο λόγο σήμερα την ξεχνάμε. Κακώς κατά την γνώμη μου.

Συγκεκριμένα. Για οποιαδήποτε δευτεροβάθμια καμπύλη ax^2+by^2 +cx+dy+e=0

, η εφαπτομένη στο σημείο της (x_1,y_1)

έχει εξίσωση

$\boxed{ax_1x+by_1y +c\dfrac {x+x_1}{2} +d\dfrac {y+y_1}{2}+e=0}$

Mνημονικός κανόνας: Αντικαθιστάμε τους δευτεροβάθμιους όρους όπως για παράδειγμα τον x^2

, με

, και τους πρωτοβάθμιους όπως τον

με $\dfrac {x+x_1}{2}$ .

Πίσω στην άσκηση.

Οι εφαπτόμενες της y=x^2

στα σημεία της (x_1,y_1)

και

έχουν εξισώσεις, αντίστοιχα,

$\displaystyle{ \dfrac {y+y_1}{2}= xx_1, \, \dfrac {y+y_2}{2}= xx_2}$ .

Αφαιρώντας έχουμε $\displaystyle{\dfrac {y_1-y_1}{2}= x(x_1-χ_2)}$ , άρα $\displaystyle{\dfrac {x^2_1-x^2_1}{2}= x(x_1-x_2)}$ . Συνεπώς $\displaystyle{x=\dfrac {x_1+x_2}{2}}$ .

Όμοια αλλά διαιρώντας καταλήγουμε στην y=x_1x_2

.

nickchalkida · #5

Και μια γεωμετρική διατύπωση για τις συντεταγμένες του σημείου

.

τετμημένη = ο αριθμητικός μέσος των τετμημένων των

,

τεταγμένη = ο γεωμετρικός μέσος των τεταγμένων των

,

.

Τομή εφαπτομένων

Τομή εφαπτομένων

Re: Τομή εφαπτομένων

Re: Τομή εφαπτομένων

Re: Τομή εφαπτομένων

Re: Τομή εφαπτομένων

Μέλη σε σύνδεση