Επί των παραγώγων

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με 0<f(1)< f(2)

. Αν

$\displaystyle{\frac{f^{(4)}(x)}{f^{(3)}(x)} = \frac{f^{(3)}(x)}{f^{(2)}(x)} = \frac{f^{(2)}(x)}{f'(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$

τότε:

να δειχθεί ότι:
1. η είναι γνησίως αύξουσα.
2. η $f^{(5)}$ είναι συνεχής.
3. υπάρχει $\xi \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\sqrt{f^{(2)}(\xi) f(\xi)} + f(1) = f(2)$ .
αν $f^{(5)}(0) = f^{(2)}(0)$ και $f^{(3)}(0)=1$ τότε να βρεθεί ο τύπος της .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 19, 2021 11:04 am
Δίδεται η συνάρτηση $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ με . Αν

$\displaystyle{\frac{f^{(4)}(x)}{f^{(3)}(x)} = \frac{f^{(3)}(x)}{f^{(2)}(x)} = \frac{f^{(2)}(x)}{f'(x)} = \frac{f'(x)}{f(x)} \quad \text{\gr για κάθε} \;\; x \in \mathbb{R}}$

τότε:

να δειχθεί ότι:

η είναι γνησίως αύξουσα.

η $f^{(5)}$ είναι συνεχής.

υπάρχει $\xi \in \mathbb{R}$ τέτοιο ώστε $\sqrt{f^{(2)}(\xi) f(\xi)} + f(1) = f(2)$ .

αν $f^{(5)}(0) = f^{(2)}(0)$ και $f^{(3)}(0)=1$ τότε να βρεθεί ο τύπος της .

Πάρα πολλές οι περιττές υποθέσεις, και τα ζητούμενα έχασαν την ουσία.

Έχουμε από την τελευταία ισότητα ότι f''f=(f')^2

. Άρα $\displaystyle{\left (\dfrac {f'}{f} \right )' = \dfrac {f''f-(f')^2}{f^2} =0}$ , οπότε $\dfrac {f'}{f}=const$ , ας πούμε

. Έπεται $f(x)=Ae^{cx}$ . Τα υπόλοιπα είναι άμεσα πορίσματα.

Επί των παραγώγων

Επί των παραγώγων

Re: Επί των παραγώγων

Μέλη σε σύνδεση